Em que ponto a função f(x)=x-\frac{4}{2-x} tem um mínimo local?
a. x=2
b. x=0
c.Não há ponto de mínimo local
d. x=-4
e. x=4

Passo 1

O enunciado pede o ponto de mínimo local da função
f(x) = x - \frac{4}{2 - x}.
Vamos usar cálculo de derivadas: encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcular a derivada primeira. Como f(x) = x - 4\,(2-x)^{-1}, temos
f'(x) = 1 - 4\,(2 - x)^{-2}.

Passo 3

Determinar os pontos onde f'(x)=0:
1 = \frac{4}{(2 - x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (2 - x)^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2 - x = \pm 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 4.
São candidatos a extremo (lembrando que x\neq2 está fora do domínio).

Passo 4

Aplicar o teste da segunda derivada. Derivando f'(x) obtemos
f''(x) = -8\,(2 - x)^{-3}.
Em x=0:
f''(0) = -8\,(2)^{-3} = -1 < 0,
logo há um máximo local em x=0.
Em x=4:
f''(4) = -8\,(2-4)^{-3} = -8\,(-2)^{-3} = 1 > 0,
portanto há um mínimo local em x=4.

Resposta

e

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