\int\left(1-4 t^{2}\right)^{3 / 2} d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int (1 - 4t^2)^{3/2}\,dt.
Este é um caso clássico para usar substituição trigonométrica, pois dentro da raiz temos expressão da forma 1 - (\text{algo})^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \tfrac12\sin x,
para que
1 - 4t^2 = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x,
e
dt = \tfrac12\cos x\,dx.
Logo o integrando vira
(1-4t^2)^{3/2}\,dt = (\cos^2 x)^{3/2}\,\bigl(\tfrac12\cos x\,dx\bigr) = \tfrac12\,\cos^3 x\;\cos x\,dx = \tfrac12\,\cos^4 x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int \tfrac12\,\cos^4 x\,dx = \tfrac12\int \cos^4 x\,dx.
Usamos a identidade de redução de potência:
\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}.
Assim
\tfrac12\int \cos^4 x\,dx = \tfrac12\int \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}\,dx = \frac1{16}\int\bigl(3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int 3\,dx = 3x,\quad \int 4\cos(2x)\,dx = 4\cdot\frac{\sin(2x)}{2}=2\sin(2x),\quad \int \cos(4x)\,dx = \frac{\sin(4x)}{4}.
Logo
\tfrac12\int \cos^4 x\,dx = \frac1{16}\Bigl(3x + 2\sin(2x) + \tfrac{\sin(4x)}{4}\Bigr)+C = \frac{3x}{16} + \frac{\sin(2x)}{8} + \frac{\sin(4x)}{64} + C.

Passo 5

Retornamos a t usando x = \arcsin(2t). Precisamos também de
\sin(2x) = 2\sin x\cos x = 4t\sqrt{1-4t^2},
\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2\bigl(4t\sqrt{1-4t^2}\bigr)\bigl(2\cos^2 x -1\bigr) = 8t\sqrt{1-4t^2}\,\bigl(1 - 8t^2\bigr).
Substituindo em cada termo:
\frac{3x}{16} = \frac{3}{16}\arcsin(2t), \quad \frac{\sin(2x)}{8} = \frac{4t\sqrt{1-4t^2}}{8} = \frac{t\sqrt{1-4t^2}}{2},
\frac{\sin(4x)}{64} = \frac{8t\sqrt{1-4t^2}\,(1-8t^2)}{64} = \frac{t\sqrt{1-4t^2}}{8}\,(1-8t^2).

Passo 6

Somamos os termos com t\sqrt{1-4t^2}:
\frac{t\sqrt{1-4t^2}}{2} + \frac{t\sqrt{1-4t^2}}{8}(1-8t^2) = t\sqrt{1-4t^2}\,\Bigl(\frac{4}{8} + \frac{1-8t^2}{8}\Bigr) = t\sqrt{1-4t^2}\,\frac{5 - 8t^2}{8}.
Portanto a integral final é
\int(1-4t^2)^{3/2}dt = \frac{3}{16}\arcsin(2t) + \frac{t\sqrt{1-4t^2}\,\bigl(5 - 8t^2\bigr)}{8} + C.

Resposta

\boxed{ \int(1-4t^2)^{3/2}\,dt = \frac{3}{16}\,\arcsin\bigl(2t\bigr) + \frac{t\sqrt{1-4t^2}\,\bigl(5 - 8t^2\bigr)}{8} + C }.

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