\int\left(\sqrt{1+x^{2}}+2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+2x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é integração de funções algébricas, em que vamos usar duas ideias: separar a soma em duas integrais e aplicar integração por partes para \int\sqrt{1+x^2}\,dx. Também precisaremos conhecer a primitiva de 1/\sqrt{1+x^2}.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas:
\int\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+2x\bigr)\,dx =\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx+\int 2x\,dx.

Passo 3

A segunda integral é direta, pois \int 2x\,dx = x^{2}+C_{1}.

Passo 4

Para \int\sqrt{1+x^{2}}\,dx usamos integração por partes. Definimos
u=\sqrt{1+x^{2}},\quad dv=dx.
Então
du=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx,\quad v=x.
Logo,
\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx = x\sqrt{1+x^{2}} -\int x\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = x\sqrt{1+x^{2}} -\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 5

Escrevemos x^{2} = (1+x^{2})-1 para simplificar:
\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\int\frac{1+x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx -\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx -\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Substituindo de volta em \int\sqrt{1+x^{2}}\,dx
\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx = x\sqrt{1+x^{2}} -\Bigl(\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx -\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx\Bigr).
Isolando \int\sqrt{1+x^{2}}\,dx,
2\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx = x\sqrt{1+x^{2}} +\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx,
ou seja
\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\frac{x\sqrt{1+x^{2}}}{2} +\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 6

Sabemos que
\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\operatorname{arsinh}(x) =\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr|.
Logo
\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\frac{x\sqrt{1+x^{2}}}{2} +\frac{1}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr| + C_{2}.

Passo 7

Reunindo tudo,
\int\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+2x\bigr)\,dx =\Bigl(\frac{x\sqrt{1+x^{2}}}{2} +\frac{1}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr|\Bigr) +\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{x\sqrt{1+x^{2}}}{2} +\frac{1}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr| + x^{2} + C.

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