\int\left(\frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{\cos \operatorname{sec} (x)}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitíva
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\cos\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)}\,dx.
O conteúdo da matéria aqui é o método de substituição simples (u-substituição).

Passo 2

Observe que a derivada de \tan(x) é exatamente \operatorname{sec}^{2}(x). Então fazemos a substituição
u = \tan(x), \quad du = \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Isso vai eliminar o fator \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx no integrando.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\cos\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)}\,dx = \int \frac{1}{\cos\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)}\,du.
Mas \operatorname{sec}(x)=\sqrt{1+\tan^{2}(x)}=\sqrt{1+u^{2}}. Logo
\int \frac{1}{\cos\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)}\,du = \int \frac{1}{\cos\!\bigl(\sqrt{1+u^{2}}\bigr)}\,du.

Passo 4

A integral
\int \frac{1}{\cos\!\bigl(\sqrt{1+u^{2}}\bigr)}\,du
não pode ser expressa em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos etc.). Ela define uma nova função especial por via de uma integral.

Resposta

A integral não possui antiderivada em funções elementares. Em substituição inversa, podemos apenas escrever
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\cos\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)}\,dx = \int \frac{1}{\cos\!\bigl(\sqrt{1+u^{2}}\bigr)}\,du\,, \quad u=\tan(x),
e afirmar que não há forma fechada elementar para essa expressão.

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