\int\left(\operatorname{tg}^{2}(t)+\cot g^{2}(t)+4\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(\tan^{2}(t) + \cot^{2}(t) + 4\bigr)\,dt
O conteúdo principal é o uso das identidades trigonométricas do tipo “quadrado de tangente” e “quadrado de cotangente” para transformar a integral em soma de funções cuja antiderivada é conhecida.

Passo 2

Aplicamos as identidades
\tan^{2}(t) = \operatorname{sec}^{2}(t) - 1
\cot^{2}(t) = \csc^{2}(t) - 1
Substituindo na integranda, obtemos
\tan^{2}(t)+\cot^{2}(t)+4 = \bigl(\operatorname{sec}^{2}(t)-1\bigr) + \bigl(\csc^{2}(t)-1\bigr) + 4 = \operatorname{sec}^{2}(t) + \csc^{2}(t) +2.

Passo 3

Reescrevemos então a integral original como
\int \bigl(\operatorname{sec}^{2}(t) + \csc^{2}(t) + 2\bigr)\,dt = \int \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt \;+\;\int \csc^{2}(t)\,dt \;+\; \int 2\,dt.
Agora cada termo é imediato de integrar.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\tan(t)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}(t),
\frac{d}{dt}\bigl(-\cot(t)\bigr)=\csc^{2}(t),
\frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)=2.
Logo
\int \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt = \tan(t),\quad \int \csc^{2}(t)\,dt = -\cot(t),\quad \int 2\,dt = 2t.

Resposta

\tan(t) \;-\;\cot(t)\;+\;2\,t \;+\;C

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