(Valor 1,5) Encontre e esboce no plano cartesiano o dominio das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{y^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas: encontrar e esboçar no plano cartesiano o domínio da função
f(x,y)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{y^{2}+3}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}}.
  • A função envolve uma fração com denominador y^{2}+3.
O que precisamos determinar: o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais a expressão que define f(x,y) faz sentido (ou seja, está bem definida).

Passo 2

Conceito rápido e necessário (aula curta): domínio de uma função de duas variáveis.
  • O domínio de f(x,y) é o conjunto de pontos (x,y) em que todas as operações que aparecem na expressão são permitidas.
  • Regras que vamos usar:
    1. A raiz quadrada de um número real só está definida (no sentido usual, retornando número real) quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para \sqrt{A} precisamos de A\ge 0.
    2. Uma fração \dfrac{B}{C} exige que o denominador seja diferente de zero: C\neq 0.
Vamos aplicar essas duas regras ao nosso caso.

Passo 3

Impondo a condição da raiz quadrada. Temos o radicando 4-x^{2}. Exigimos
4-x^{2}\ge 0.
Resolvendo a desigualdade:
4-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 4.
A solução de x^{2}\le 4 é
-2\le x\le 2,
ou seja, \,x\in[-2,2]. Explicando de forma bem direta: x^{2}\le 4 significa que a distância de x à origem não pode ser maior que 2, logo x fica entre -2 e 2, inclusive.

Passo 4

Impondo a condição do denominador. O denominador é y^{2}+3. Exigimos
y^{2}+3\neq 0.
Observação: para todo y\in\mathbb{R} vale y^{2}\ge 0. Portanto
y^{2}+3\ge 0+3=3.
Logo y^{2}+3\ge 3>0 para todo y. Em particular y^{2}+3 nunca é zero, então não há nenhuma restrição adicional sobre y vinda do denominador: y pode ser qualquer número real, y\in\mathbb{R}.

Passo 5

Juntando as duas condições: \,x deve satisfazer -2\le x\le 2 e y pode ser qualquer real. Portanto o domínio é o produto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid -2\le x\le 2,\; y\in\mathbb{R}\}.
Interpretação geométrica (como esboçar): no plano cartesiano é a faixa vertical (strip) entre as retas verticais x=-2 e x=2, incluindo as próprias retas. Para esboçar: desenhar os eixos x e y, traçar as linhas verticais x=-2 e x=2 (linhas sólidas, porque as fronteiras estão incluídas) e sombrear a região entre elas para todos os valores de y.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le x\le 2,\; y\in\mathbb{R}\}

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