(Valor 1,5) Encontre e esboce no plano cartesiano o dominio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas: encontrar e esboçar no plano cartesiano o domínio da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve uma raiz quadrada
. - A função envolve uma fração com denominador
.
O que precisamos determinar: o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define
faz sentido (ou seja, está bem definida).
Passo 2
Conceito rápido e necessário (aula curta): domínio de uma função de duas variáveis.
- O domínio de
é o conjunto de pontos em que todas as operações que aparecem na expressão são permitidas. - Regras que vamos usar:
- A raiz quadrada de um número real só está definida (no sentido usual, retornando número real) quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para
precisamos de . - Uma fração
exige que o denominador seja diferente de zero: .
- A raiz quadrada de um número real só está definida (no sentido usual, retornando número real) quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para
Vamos aplicar essas duas regras ao nosso caso.
Passo 3
Impondo a condição da raiz quadrada. Temos o radicando
. Exigimos
Resolvendo a desigualdade:
A solução de
é
ou seja,
. Explicando de forma bem direta:
significa que a distância de
à origem não pode ser maior que
, logo
fica entre
e
, inclusive.
Passo 4
Impondo a condição do denominador. O denominador é
. Exigimos
Observação: para todo
vale
. Portanto
Logo
para todo
. Em particular
nunca é zero, então não há nenhuma restrição adicional sobre
vinda do denominador:
pode ser qualquer número real,
.
Passo 5
Juntando as duas condições:
deve satisfazer
e
pode ser qualquer real. Portanto o domínio é o produto
Interpretação geométrica (como esboçar): no plano cartesiano é a faixa vertical (strip) entre as retas verticais
e
, incluindo as próprias retas. Para esboçar: desenhar os eixos
e
, traçar as linhas verticais
e
(linhas sólidas, porque as fronteiras estão incluídas) e sombrear a região entre elas para todos os valores de
.