\int\left(\frac{e^{x}}{2}+x \sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int\Bigl(\frac{e^{x}}{2}+x\sqrt{x}\Bigr)\,dx.
Vamos usar a linearidade da integral e as regras \int e^{x}dx=e^{x} e \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas e integramos a parte exponencial:
\int \frac{e^{x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{x}\,dx = \frac{e^{x}}{2}.

Passo 3

No segundo termo escrevemos
x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2},
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\int x\sqrt{x}\,dx = \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}.

Resposta

\frac{e^{x}}{2} + \frac{2}{5}x^{5/2} + C

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