\int\left(\frac{x^{3}+2 x+7}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\frac{x^{3}+2x+7}{x}\,dx
É uma questão de integração de funções racionais simples, onde basta usar divisão de termos e aplicar as regras elementares: regra do poder e integral de 1/x.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando dividindo cada termo por x:
\frac{x^{3}+2x+7}{x} = \frac{x^{3}}{x}+\frac{2x}{x}+\frac{7}{x} = x^{2}+2+\frac{7}{x}.
Assim a integral vira
\int\bigl(x^{2}+2+\tfrac{7}{x}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora usamos a linearidade da integral e as regras:
  1. \int x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3} (regra do poder: \int x^{n}\,dx = x^{n+1}/(n+1)).
  2. \int 2\,dx = 2x.
  3. \displaystyle \int \frac{7}{x}\,dx = 7\int\frac{1}{x}\,dx = 7\ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{x^{3}}{3}+2x+7\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}+2x+7\ln\lvert x\rvert + C

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