1. \int x \operatorname{cosec}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função x\,\csc^2 x, ou seja, \displaystyle\int x\,\csc^2 x\,dx. Para resolver, vamos usar integração por partes, pois temos um produto de uma função simples x por uma cuja primitiva é conhecida \csc^2 x.

Passo 2

Escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = \csc^2 x\,dx.
Derivando, temos
du = dx.
Para v, usamos
v = \int \csc^2 x\,dx = -\cot x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int x\,\csc^2 x\,dx = x\cdot(-\cot x) - \int(-\cot x)\,dx = -x\cot x + \int \cot x\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral remanescente. Sabemos que
\int \cot x\,dx = \ln\lvert \sin x\rvert.

Passo 5

Reunindo os termos e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int x\,\csc^2 x\,dx = -x\cot x + \ln\lvert \sin x\rvert + C.

Resposta

-x\cot x + \ln\lvert \sin x\rvert + C

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