\int\left(2 x{3}+x{2}+4 x\right) / x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{3} + x^{2} + 4x}{x^{2}}\,dx
Isso envolve simplificar a função racional dividindo cada termo por x^{2} e depois aplicar as regras básicas de integração (potência e logaritmo).

Passo 2

Vamos dividir termo a termo:
\frac{2x^{3}}{x^{2}} = 2x, \quad \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1, \quad \frac{4x}{x^{2}} = 4x^{-1}.
Logo a integral vira
\int\bigl(2x + 1 + 4x^{-1}\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos cada parcela separadamente:
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2},
\int 1\,dx = x,
\int 4x^{-1}\,dx = 4\ln\bigl|x\bigr|.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
x^{2} + x + 4\ln\bigl|x\bigr| + C.

Resposta

x^{2} + x + 4\ln\lvert x\rvert + C

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