Resolva as seguintes equações:
(Zill e Cullen, 2001)
t \frac{d y}{d t}-t y=t^{6} e^{t} ;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de primeira ordem linear
t \frac{dy}{dt} - t y = t^{6} e^{t}.
O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante. Vamos reescrevê-la no formato padrão
\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)
e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t (supondo t\neq0), obtemos
\frac{dy}{dt} - y = t^{5} e^{t}.
Aqui identificamos P(t) = -1 e Q(t) = t^{5} e^{t}.

Passo 3

O fator integrante é dado por
\mu(t) = e^{\int P(t)\,dt} = e^{\int -1\,dt} = e^{-t}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t), temos
e^{-t}\frac{dy}{dt} - e^{-t}y = t^{5}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y\,e^{-t}, isto é,
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-t}\bigr) = t^{5}.
Integrando ambos os lados em relação a t:
y\,e^{-t} = \int t^{5}\,dt = \frac{t^{6}}{6} + C.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^{t} e obtemos a solução geral:
y(t) = e^{t}\Bigl(\frac{t^{6}}{6} + C\Bigr).

Resposta

y(t) = e^{t}\Bigl(\frac{t^{6}}{6} + C\Bigr).

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