Resolva as seguintes equações:
(Zill e Cullen, 2001)
(1+t) \dot{y}=y ;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
(1+t)\,\dot{y}=y.
O conteúdo é equação separável. Para resolver, vamos reescrever de modo a separar as variáveis y e t.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 1+t (pressupondo t\neq -1) e por y (pressupondo y\neq 0), obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt} = \frac{1}{1+t}.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de t.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{1+t}\,dt.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert + C_{1},
\int \frac{1}{1+t}\,dt = \ln\lvert 1+t\rvert + C_{2}.
Logo, combinando e absorvendo constantes numa só C = C_{2}-C_{1}, vem
\ln\lvert y\rvert = \ln\lvert 1+t\rvert + C.

Passo 5

Exponentiando ambos os lados, obtemos
\lvert y\rvert = e^{\ln\lvert1+t\rvert + C} = e^{C}\,\lvert1+t\rvert = K\,\lvert1+t\rvert,
onde K=e^{C} é uma constante arbitrária. Removendo valor absoluto (permitindo K assumir sinal), a solução geral fica
y(t)=C\,(1+t).

Resposta

A solução geral da equação é
y(t)=C\,(1+t),
onde C é constante arbitrária.

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