1. \int x^{2} \cdot \ln (x+1) d x

Passo 1

O problema pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int x^{2}\ln(x+1)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de x^{2} por \ln(x+1).
  • Queremos uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\ln(x+1), mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): quando aparece um produto do tipo polinômio \times função logarítmica, uma técnica padrão é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas da integral, du é a derivada de u multiplicada por dx e v é uma primitiva de dv. Explico o porquê da escolha:
  • É conveniente escolher u de modo que sua derivada du seja mais simples; a derivada de \ln(x+1) é \dfrac{1}{x+1}, que é mais simples que \ln(x+1).
  • Escolher dv como uma potência de x permite integrar facilmente.
Faço então a escolha
u=\ln(x+1),\qquad dv = x^{2}\,dx.
Calculo du e v:
du = \frac{1}{x+1}\,dx, \qquad v=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Aplico a fórmula da integração por partes:
\int x^{2}\ln(x+1)\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{3}}{3}\ln(x+1) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx.
Coloco o fator 1/3 em evidência:
\int x^{2}\ln(x+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x+1) - \frac{1}{3}\int \frac{x^{3}}{x+1}\,dx.
Agora preciso calcular \displaystyle \int \frac{x^{3}}{x+1}\,dx.

Passo 4

Para integrar \dfrac{x^{3}}{x+1} faço divisão polinomial (ou decomposição algébrica) porque o numerador tem grau maior que o denominador. Procuro escrever
\frac{x^{3}}{x+1} = Q(x) + \frac{R}{x+1},
onde Q(x) é um polinômio e R é um resto constante. Fazendo a divisão:
multiplicando (x+1) por x^{2}-x+1 obtemos
(x+1)(x^{2}-x+1) = x^{3}+1.
Isso mostra que
x^{3} = (x+1)(x^{2}-x+1) - 1.
Dividindo ambos os lados por x+1:
\frac{x^{3}}{x+1} = x^{2}-x+1 - \frac{1}{x+1}.

Passo 5

Substituo essa decomposição na integral:
\int \frac{x^{3}}{x+1}\,dx = \int\left(x^{2}-x+1 - \frac{1}{x+1}\right)\,dx.
Integro termo a termo (cada primitiva é elementar):
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int (-x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x,\qquad \int -\frac{1}{x+1}\,dx = -\ln|x+1|.
Portanto
\int \frac{x^{3}}{x+1}\,dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \ln|x+1| + C.

Passo 6

Volto à expressão obtida em Passo 3, lembrando do fator -\tfrac{1}{3}:
\int x^{2}\ln(x+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x+1) - \frac{1}{3}\left(\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \ln|x+1|\right) + C.
Distribuo o -\tfrac{1}{3}:
\int x^{2}\ln(x+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x+1) - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{1}{3}\ln|x+1| + C.

Passo 7

Organizo um pouco agrupando os termos que contêm \ln(x+1):
\int x^{2}\ln(x+1)\,dx = \frac{x^{3}+1}{3}\ln|x+1| - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + C.
Isso é equivalente à forma expandida do Passo 6; ambas são primitivas válidas.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}+1}{3}\ln|x+1|-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{6}-\frac{x}{3}+C

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