Passo 1
O problema pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de
por . - Queremos uma expressão
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente): quando aparece um produto do tipo polinômio
função logarítmica, uma técnica padrão é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é
onde
e
são partes escolhidas da integral,
é a derivada de
multiplicada por
e
é uma primitiva de
. Explico o porquê da escolha:
- É conveniente escolher
de modo que sua derivada seja mais simples; a derivada de é , que é mais simples que . - Escolher
como uma potência de permite integrar facilmente.
Faço então a escolha
Calculo
e
:
Passo 3
Aplico a fórmula da integração por partes:
Coloco o fator
em evidência:
Agora preciso calcular
.
Passo 4
Para integrar
faço divisão polinomial (ou decomposição algébrica) porque o numerador tem grau maior que o denominador. Procuro escrever
onde
é um polinômio e
é um resto constante. Fazendo a divisão:
multiplicando por
obtemos
multiplicando
Isso mostra que
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Substituo essa decomposição na integral:
Integro termo a termo (cada primitiva é elementar):
Portanto
Passo 6
Volto à expressão obtida em Passo 3, lembrando do fator
:
Distribuo o
:
Passo 7
Organizo um pouco agrupando os termos que contêm
:
Isso é equivalente à forma expandida do Passo 6; ambas são primitivas válidas.