Introduza a notação de vetor coluna e escreva
X=\left(\begin{array}{l} A \\\ B \\\ C \end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l} P \\\ Q \\\ R \end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{rot}(\mathrm{X} \wedge \mathrm{Y}) =D X(Y)-D Y(X)+\operatorname{div}(\mathrm{Y}) \mathrm{X}-\operatorname{div}(\mathrm{X}) \mathrm{Y}

Passo 1

O enunciado dá os vetores coluna
X=\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}P\\[4pt]Q\\[4pt]R\end{pmatrix},
e informa que D X(Y) é a multiplicação da matriz jacobiana D X (matriz 3\times3) pelo vetor coluna Y (vetor 3\times1). Ou seja, D X(Y) é um vetor coluna 3\times1.
O que se pede: demonstrar a identidade
\operatorname{rot}(X\wedge Y)=D X(Y)-D Y(X)+\operatorname{div}(Y)\,X-\operatorname{div}(X)\,Y.
Informações relevantes que vamos usar (já embarcadas no enunciado):
  • A notação D X é a matriz jacobiana de X, cujos elementos são \partial X_i/\partial x_j.
  • A divergência e o rot (curl) serão tratados nas fórmulas abaixo em componente, para evitar ambiguidade.]

Passo 2

Definir explicitamente algumas noções em componente (isso é importante para manipular as derivadas).
  • A divergência de X é, por definição,
\operatorname{div}(X)=\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.
Em notação indicial (índices variando 1,2,3 correspondendo a x,y,z),
\operatorname{div}(X)=\partial_j X_j,
onde \partial_j significa \partial/\partial x_j.
  • A matriz jacobiana D X tem entradas (D X)_{ij}=\partial_j X_i. Quando essa matriz age sobre o vetor Y obtemos
\big(D X(Y)\big)_i=(D X)_{ij}Y_j=\partial_j X_i\;Y_j.
Isto mostra a relação conhecida
D X(Y)=(Y\cdot\nabla)X,
ou seja, D X(Y) é a derivada direcional de X na direção Y.

Passo 3

Vamos escrever o rot (curl) do produto vetorial X\wedge Y componente a componente usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}. Por definição,
\big(\operatorname{rot}(X\wedge Y)\big)_i=\varepsilon_{ijk}\,\partial_j\big((X\wedge Y)_k\big).
E o produto vetorial em componentes é
(X\wedge Y)_k=\varepsilon_{klm}X_l Y_m.
Substituindo:
\big(\operatorname{rot}(X\wedge Y)\big)_i=\varepsilon_{ijk}\,\partial_j\big(\varepsilon_{klm}X_l Y_m\big).

Passo 4

Usamos a identidade do produto de duas \varepsilon (identidade padrão de índices):
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},
onde \delta_{ab} é o delta de Kronecker. Aplicando essa identidade dentro da expressão anterior dá
\big(\operatorname{rot}(X\wedge Y)\big)_i = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\,\partial_j\big(X_l Y_m\big).
Isso simplifica, ao aplicar os deltas, para
\big(\operatorname{rot}(X\wedge Y)\big)_i=\partial_j\big(X_i Y_j\big)-\partial_j\big(X_j Y_i\big).

Passo 5

Agora expandimos cada derivada usando a regra do produto:
\partial_j\big(X_i Y_j\big)=(\partial_j X_i)\,Y_j+X_i\,(\partial_j Y_j),
\partial_j\big(X_j Y_i\big)=(\partial_j X_j)\,Y_i+X_j\,(\partial_j Y_i).
Subtraindo as duas expressões:
\big(\operatorname{rot}(X\wedge Y)\big)_i = (\partial_j X_i)\,Y_j + X_i\,(\partial_j Y_j) - (\partial_j X_j)\,Y_i - X_j\,(\partial_j Y_i).

Passo 6

Reescrevendo cada termo em notação matricial/vetor:
  • O termo (\partial_j X_i)\,Y_j é exatamente \big(D X(Y)\big)_i.
  • O termo X_j\,(\partial_j Y_i) é \big(D Y(X)\big)_i porque \big(D Y(X)\big)_i=(\partial_j Y_i)\,X_j.
  • O termo X_i\,(\partial_j Y_j) é \big(\operatorname{div}(Y)\,X\big)_i.
  • O termo (\partial_j X_j)\,Y_i é \big(\operatorname{div}(X)\,Y\big)_i.
Portanto, compondo tudo,
\big(\operatorname{rot}(X\wedge Y)\big)_i =\big(D X(Y)\big)_i-\big(D Y(X)\big)_i+\big(\operatorname{div}(Y)\,X\big)_i-\big(\operatorname{div}(X)\,Y\big)_i.

Passo 7

Como a igualdade vale para cada componente i=1,2,3, podemos escrever a identidade vetorial global:
\operatorname{rot}(X\wedge Y)=D X(Y)-D Y(X)+\operatorname{div}(Y)\,X-\operatorname{div}(X)\,Y.
Força aí — a demonstração é componente a componente; a chave foi usar a representação com \varepsilon_{ijk} e a identidade \varepsilon\varepsilon, depois reconhecer os termos como D X(Y)=(Y\cdot\nabla)X e \operatorname{div}(X)=\partial_j X_j.

Resposta

\operatorname{rot}(X\wedge Y)=D X(Y)-D Y(X)+\operatorname{div}(Y)\,X-\operatorname{div}(X)\,Y

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