Introduza a notação de vetor coluna e escreva
X=\left(\begin{array}{l} A \\\ B \\\ C \end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l} P \\\ Q \\\ R \end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
Mostre as seguintes identidades.
\operatorname{grad}(\mathrm{X} \cdot \mathrm{Y}) =D X(Y)+D Y(X)+Y \wedge \operatorname{rot}(\mathrm{X})+\mathrm{X} \wedge \operatorname{rot}(\mathrm{Y})

Passo 1

O enunciado dá dois vetores coluna
X=\begin{pmatrix}A\\[2pt]B\\[2pt]C\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}P\\[2pt]Q\\[2pt]R\end{pmatrix},
e diz que D X(Y) é o produto da matriz jacobiana D X (tamanho 3\times3) pelo vetor coluna Y (tamanho 3\times1), resultando num vetor coluna 3\times1.
O objetivo é mostrar a identidade
\operatorname{grad}(X\cdot Y)=D X(Y)+D Y(X)+Y\times\operatorname{rot}(X)+X\times\operatorname{rot}(Y).
Vou trabalhar com componentes e usar notação indexada (índices variando em \{1,2,3\}), definindo
X=(X_1,X_2,X_3),\qquad Y=(Y_1,Y_2,Y_3),
onde X_1=A,\;X_2=B,\;X_3=C e Y_1=P,\;Y_2=Q,\;Y_3=R. Listei as informações dadas e qual identidade preciso provar; a resolução começa a seguir.]

Passo 2

Entendendo D X(Y) e D Y(X) em componentes.
A matriz jacobiana D X tem entradas (D X)_{ij}=\partial_{j}X_i=\dfrac{\partial X_i}{\partial x_j}, onde \partial_j é \dfrac{\partial}{\partial x_j} (com x_1=x,\;x_2=y,\;x_3=z). Então o produto D X(Y) tem componentes
\big(D X(Y)\big)_i=\sum_{j=1}^{3} (D X)_{ij}Y_j=\sum_{j=1}^{3}\partial_{j}X_i\;Y_j.
Essa expressão é exatamente a componente i do operador (Y\cdot\nabla)X. Portanto podemos escrever, de forma útil para a prova,
D X(Y)=(Y\cdot\nabla)X,\qquad D Y(X)=(X\cdot\nabla)Y,
ou em componentes
\big(D X(Y)\big)_i=Y_j\partial_j X_i,\qquad \big(D Y(X)\big)_i=X_j\partial_j Y_i.
(Em todas as somas de índices repetidos usa-se a convenção de soma.)

Passo 3

Expressar o lado esquerdo em componentes: a componente i de \operatorname{grad}(X\cdot Y) é
\big(\operatorname{grad}(X\cdot Y)\big)_i=\partial_i\big(X_j Y_j\big)
(pois X\cdot Y=X_j Y_j). Aplicando a regra do produto,
\partial_i\big(X_j Y_j\big)=\partial_i X_j\;Y_j + X_j\;\partial_i Y_j.
Esta será a quantidade que queremos obter ao manipular o lado direito da identidade.

Passo 4

Escrever as componentes dos termos com rotor (curl).
Defina o rotor por componentes usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{p q r}:
\big(\operatorname{rot}X\big)_n=\varepsilon_{n p q}\,\partial_p X_q.
Agora calcule a componente i do produto vetorial Y\times\operatorname{rot}X:
\big(Y\times\operatorname{rot}X\big)_i=\varepsilon_{i m n}\,Y_m\,\big(\operatorname{rot}X\big)_n =\varepsilon_{i m n}\,Y_m\,\varepsilon_{n p q}\,\partial_p X_q.
Use a identidade de contração de dois \varepsilon:
\varepsilon_{i m n}\varepsilon_{n p q}=\delta_{i p}\delta_{m q}-\delta_{i q}\delta_{m p},
onde \delta_{ab} é o delta de Kronecker. Substituindo,
\big(Y\times\operatorname{rot}X\big)_i = \big(\delta_{i p}\delta_{m q}-\delta_{i q}\delta_{m p}\big)Y_m\partial_p X_q = Y_q\partial_i X_q - Y_p\partial_p X_i.
Em notação mais clara:
\big(Y\times\operatorname{rot}X\big)_i=Y_j\partial_i X_j - Y_j\partial_j X_i.

Passo 5

Fazer o mesmo para X\times\operatorname{rot}Y. Pela simetria da expressão:
\big(X\times\operatorname{rot}Y\big)_i=X_j\partial_i Y_j - X_j\partial_j Y_i.

Passo 6

Somar todos os termos do lado direito da identidade, componente a componente. Lembre:
\big(D X(Y)\big)_i=Y_j\partial_j X_i,\qquad \big(D Y(X)\big)_i=X_j\partial_j Y_i.
Então a soma das quatro parcelas dá
\begin{aligned} &\big(D X(Y)\big)_i+\big(D Y(X)\big)_i+\big(Y\times\operatorname{rot}X\big)_i+\big(X\times\operatorname{rot}Y\big)_i\\[4pt] &\quad=Y_j\partial_j X_i + X_j\partial_j Y_i +\big(Y_j\partial_i X_j - Y_j\partial_j X_i\big) +\big(X_j\partial_i Y_j - X_j\partial_j Y_i\big). \end{aligned}
Agora observe cancelamentos: os termos Y_j\partial_j X_i aparecem com sinal + e com sinal - e se anulam; o mesmo para X_j\partial_j Y_i. Restam apenas
Y_j\partial_i X_j + X_j\partial_i Y_j=\partial_i\big(X_j Y_j\big).
Mas \partial_i\big(X_j Y_j\big)=\big(\operatorname{grad}(X\cdot Y)\big)_i pelo Passo 3. Portanto, em cada componente i temos igualdade.]

Passo 7

Concluir a identidade vetorial. Como as componentes coincidem para i=1,2,3, obtemos a igualdade vetorial desejada:
\operatorname{grad}(X\cdot Y)=D X(Y)+D Y(X)+Y\times\operatorname{rot}(X)+X\times\operatorname{rot}(Y).
Recordando a interpretação matricial: D X(Y)=(Y\cdot\nabla)X e D Y(X)=(X\cdot\nabla)Y, esta é a forma conhecida da fórmula do gradiente do produto escalar.

Resposta

\operatorname{grad}(X\cdot Y)=D X(Y)+D Y(X)+Y\times\operatorname{rot}(X)+X\times\operatorname{rot}(Y).

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