X=\left(\begin{array}{l}
A \\\ B \\\ C
\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}
P \\\ Q \\\ R
\end{array}\right)
Assim a notação D X(Y) significa a multiplicação de uma matriz D X 3 \times 3 por um vetor coluna Y 3 \times 1. Portanto D X(Y) é um vetor coluna 3 \times 1.
e diz que D X(Y) é o produto da matriz jacobiana D X (tamanho 3\times3) pelo vetor coluna Y (tamanho 3\times1), resultando num vetor coluna 3\times1.
O objetivo é mostrar a identidade
Vou trabalhar com componentes e usar notação indexada (índices variando em \{1,2,3\}), definindo
X=(X_1,X_2,X_3),\qquad Y=(Y_1,Y_2,Y_3),
onde X_1=A,\;X_2=B,\;X_3=C e Y_1=P,\;Y_2=Q,\;Y_3=R. Listei as informações dadas e qual identidade preciso provar; a resolução começa a seguir.]
Passo 2
Entendendo D X(Y) e D Y(X) em componentes.
A matriz jacobiana D X tem entradas (D X)_{ij}=\partial_{j}X_i=\dfrac{\partial X_i}{\partial x_j}, onde \partial_j é \dfrac{\partial}{\partial x_j} (com x_1=x,\;x_2=y,\;x_3=z). Então o produto D X(Y) tem componentes
Esta será a quantidade que queremos obter ao manipular o lado direito da identidade.
Passo 4
Escrever as componentes dos termos com rotor (curl).
Defina o rotor por componentes usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{p q r}:
\big(\operatorname{rot}X\big)_n=\varepsilon_{n p q}\,\partial_p X_q.
Agora calcule a componente i do produto vetorial Y\times\operatorname{rot}X:
\big(Y\times\operatorname{rot}X\big)_i=\varepsilon_{i m n}\,Y_m\,\big(\operatorname{rot}X\big)_n =\varepsilon_{i m n}\,Y_m\,\varepsilon_{n p q}\,\partial_p X_q.
Use a identidade de contração de dois \varepsilon:
\varepsilon_{i m n}\varepsilon_{n p q}=\delta_{i p}\delta_{m q}-\delta_{i q}\delta_{m p},
onde \delta_{ab} é o delta de Kronecker. Substituindo,
Recordando a interpretação matricial: D X(Y)=(Y\cdot\nabla)X e D Y(X)=(X\cdot\nabla)Y, esta é a forma conhecida da fórmula do gradiente do produto escalar.