Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta ger ada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção or togonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Vamos lá! A questão nos pede para encontrar a projeção ortogonal do polinômio
na reta gerada pelo polinômio
no espaço vetorial
com produto interno definido por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeções em espaços vetoriais com produto interno.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é uma projeção ortogonal. Em termos simples, a projeção de um vetor
em direção a um vetor
é a “sombra” de
na direção de
. Matematicamente, a projeção
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular o produto interno
e
.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
:
Primeiro, vamos expandir os termos dentro da integral:
Somando tudo:
Agora, integramos de 0 a 1:
Somando todos os resultados:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
lang<= q, q rang<= = integral0^1 (2x - 4)^2 , dx :
Expande-se o quadrado:
Agora, integramos cada termo:
Somando todos os resultados:
Então,
.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
Substituindo
projq(p) = -3328 (2x - 4) = -66x28 + 13228 :
Simplificando as frações:
Portanto:
Resposta
A projeção ortogonal de
-33 x14 + 337 na reta gerada por
é:
Alternativa (E).