Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=2 x^2-2 x+4 na reta ger ada por
q(x)=2 x-4.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 2 x^2-2 x+4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-4 é dada pela projeção or togonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) -33 x^214+33 x14-337
(B) -17 x^27+17 x7-347
© -31 x^214+31 x14-317
(D) 347-17 x7
(E) 337-33 x14
(F) 317-31 x14
(G) 327-16 x7
(H) -16 x^27+16 x7-327
(I) Não sei

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para encontrar a projeção ortogonal do polinômio lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(x) q(x) , dx na reta gerada pelo polinômio no espaço vetorial com produto interno definido por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeções em espaços vetoriais com produto interno.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma projeção ortogonal. Em termos simples, a projeção de um vetor projq(p) = ( lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= ) q em direção a um vetor é a “sombra” de na direção de . Matematicamente, a projeção é dada por:
Isso significa que precisamos calcular o produto interno e .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno lang<= p, q rang<= = integral0^1 (2x^2 - 2x + 4)(2x - 4) , dx :
(2x^2)(2x) = 4x^3
Primeiro, vamos expandir os termos dentro da integral:
(2x^2)(-4) = -8x^2
(-2x)(2x) = -4x^2
(-2x)(-4) = 8x
4(2x) = 8x
4(-4) = -16
4x^3 - 8x^2 - 4x^2 + 8x + 8x - 16 = 4x^3 - 12x^2 + 16x - 16
Somando tudo:
integral0^1 4x^3 , dx = 4 ( x^44 ) |0^1 = 1
Agora, integramos de 0 a 1:
integral0^1 -12x^2 , dx = -12 ( x^33 ) |0^1 = -4
integral0^1 16x , dx = 16 ( x^22 ) |0^1 = 8
integral0^1 -16 , dx = -16x |0^1 = -16
1 - 4 + 8 - 16 = -11
Somando todos os resultados:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= q, q rang<= = integral0^1 (2x - 4)^2 , dx :
(2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16
Expande-se o quadrado:
integral0^1 4x^2 , dx = 4 ( x^33 ) |0^1 = 43
Agora, integramos cada termo:
integral0^1 -16x , dx = -16 ( x^22 ) |0^1 = -8
integral0^1 16 , dx = 16x |0^1 = 16
43 - 8 + 16 = 43 + 8 = 43 + 243 = 283
Somando todos os resultados:
Então, .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
projq(p) = ( lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= ) q = ( -11283 ) q = ( -3328 ) q
Substituindo projq(p) = -3328 (2x - 4) = -66x28 + 13228 :
-66x28 = -33x14
Simplificando as frações:
13228 = 337
projq(p) = -33x14 + 337
Portanto:

Resposta

A projeção ortogonal de -33 x14 + 337 na reta gerada por é:
Alternativa (E).

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