Intuitivamente, o aumento do tamanho amostral nos diz que temos mais informações sobre a situação para a qual desejamos realizar inferência. Você diria que nesse caso a mudança de n=20 para n=200 afetou nossa conclusão original sobre a hipótese de que a proporção populacional p de machos é estatisticamente diferente de 50 % ? Comente.

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo?
A gente tinha um teste de hipótese pra ver se a proporção de machos na população, , era diferente de 50%. Primeiro fizeram com e agora perguntam se, aumentando pra , isso mudaria a nossa conclusão.
Conteúdo: Estatística inferencial, mais especificamente teste de hipótese sobre proporção.
O que vamos precisar:
• Fórmula do erro‐padrão da proporção,
• Estatística de teste (z),
• Noções de como o tamanho amostral (n) afeta o erro-padrão e o poder do teste.

Passo 2

Antes de tudo, lembra do teste:
  • Hipóteses:
    z ;=;hat p - 0,5raiztfrac0,5,(1-0,5)n ;=; hat p - 0,5raiztfrac0,25n
  • Estatística de teste (quando é razoavelmente grande):
  • A parte chave aqui é o denominador, que é o erro-padrão
    .
    Quanto maior , menor fica o , logo o valor absoluto de cresce (se for distinto de 0,5), e o p-valor tende a diminuir.

Passo 3

Vamos fazer um exemplo numérico simples pra ver a mágica: suponha que em ambas as amostras a proporção observada seja SE20 = raiz0,2520 approx 0,1118 Longrightarrow z20 = 0,6 - 0,50,1118 approx 0,894 .
  1. Com SE200 = raiz0,25200 approx 0,0354 Longrightarrow z200 = 0,6 - 0,50,0354 approx 2,83 :
    Esse dá p-valor lá pra cima de 0,3 — sem chance de rejeitar .
  2. Com :
    Aqui o p-valor fica em torno de 0,005 — a gente rejeita fácil.

Passo 4

Teoria na veia: pelo Teorema Central do Limite, mesmo proporção de 0,6 vai se distribuir mais “apertadinha” em torno de 0,5 se é grande. Então qualquer desvio real de 0,5 fica mais fácil de detectar. Em outras palavras, maior → menor → maior poder do teste → mais chance de achar diferença estatisticamente significativa.

Resposta

Sim! Aumentar de para reduz o erro-padrão e aumenta o poder do teste. Logo, uma diferença de proporção que não era significativa em pode ficar altamente significativa em .

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