INVARIÂNCIA DA MECÂNICA NEWTONIANA PERANTE AS TRANSFORMAÇÕES DE GALILEU
Mostre que as leis de Newton não mudam de forma ao mudarmos de referencial inercial.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente mostrar que, se você muda de um referencial inercial pra outro que se move com velocidade constante (a tal “transformação de Galileu”), as leis de Newton continuam valendo do mesmo jeitinho.
Conteúdo: mecânica clássica, especialmente as transformações de Galileu e a segunda lei de Newton ().
O que vamos precisar:
A fórmula da transformação de Galileu para posição e tempo.
Como derivar posição pra achar velocidade e acelerar.
Conferir que tem a mesma forma nos dois referenciais.
Passo 2
Primeiro, a transformação de Galileu diz que, se no referencial um ponto tem posição , no referencial (que se move com velocidade constante em relação a ) a posição é
e o tempo é o mesmo (). É bem simples: a gente desloca tudo com .
Passo 3
Agora a gente calcula velocidade e aceleração em cada referencial.
Velocidade em :
Velocidade em :
Ou seja, as velocidades diferem por , beleza?
Agora, a aceleração:
Repara que é constante, então sua derivada some. Conclusão: a aceleração é a mesma nos dois referenciais.
Passo 4
Agora entra a segunda lei de Newton: no referencial F = m,a a gente escreve
F' = m,a' = m,a = F
No , a força sobre a partícula (que depende das interações) vai ser a mesma função das posições relativas e velocidades relativas — e como , temos
Ou seja, mantém exatamente a mesma forma.
A mesma ideia vale pra Primeira Lei (partícula em movimento retilíneo e uniforme continua assim em qualquer referencial inercial) e pra Terceira Lei (ações e reações continuam iguais e opostas, pois dependem só de forças internas que não mudam).
Resposta
As leis de Newton têm exatamente a mesma forma num referencial que se move com velocidade constante em relação a . Em especial, como a aceleração é invariante (), a segunda lei não muda, mostrando a invariância galileana da mecânica clássica.