A inversa de uma matriz 2 por 2 parece ter determinante =1 :
det(A^-1)=det 1a d-b c[cc d & -b -c & a ]=a d-b ca d-b c=1
O que está errado com este cálculo? Qual é o correto det(A^-1) ?

Passo 1

O enunciado pergunta por que o cálculo
det(A^-1)=detl(tfrac1ad-bcMr)=tfracad-bcad-bc=1
está errado e qual é o valor correto de det(A^-1), sendo
A^-1 = 1ad-bc d & -b -c & a ,
onde M=d & -b-c & a.

Passo 2

Lembramos que para uma matriz quadrada ntimes n e um escalar alpha vale a propriedade
det(alpha,M)=alpha^n,det(M)
No caso de A^-1, temos n=2 e alpha=tfrac1ad-bc. Não se pode puxar o escalar apenas uma vez do determinante: ele entra elevado a 2.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao calcular det(A^-1), escrevemos
det(A^-1) =detl(tfrac1ad-bc,Mr) =l(tfrac1ad-bcr)^2,det(M)

Passo 4

Agora calculamos det(M) com M=d & -b-c & a:
det(M)=dcdot a-(-b)cdot(-c)=ad-bc

Passo 5

Substituindo em det(A^-1), obtemos
det(A^-1) =1(ad-bc)^2,(ad-bc) =1ad-bc =1det(A)

Resposta

det(A^-1)=1det(A)=1ad-bc

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