Questão 1 Considere os vetores a=(1,2,0), b=(-1,1,3) e c=(2,5,3) em R^3. Verifique se os vetores a, b e c são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
a=(1,2,0), b=(-1,1,3) e c=(2,5,3), e pede para verificar se são linearmente independentes.
Conteúdo: definição de independência linear em R^3 e teste via determinante de matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são a, b e c:
A = 1 & -1 & 2 2 & 1 & 5 0 & 3 & 3

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet1 & 53 & 3 -(-1)cdotdet2 & 50 & 3 +2cdotdet2 & 10 & 3
Agora cada 2times2:
det1 & 53 & 3 =1cdot3 - 5cdot3 = -12, det2 & 50 & 3 =2cdot3 - 5cdot0 = 6,
det2 & 10 & 3 =2cdot3 - 1cdot0 = 6
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det(A) = 1cdot(-12) + 1cdot6 + 2cdot6 = -12 + 6 + 12 = 6

Passo 4

Como det(A)=6neq0, a única combinação linear
lambda1a+lambda2b+lambda3c=0
só tem solução trivial lambda1=lambda2=lambda3=0.

Resposta

Os vetores a, b e c são linearmente independentes.

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