Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime-8 y^prime+16 y=e^4 xx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte da matéria de equações diferenciais ordinárias, especificamente usando o método da variação dos parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente: . Para isso, achamos as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é r = 8 pm raiz64 - 642 = 82 = 4 . Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, a raiz dupla é .

Passo 4

Com uma raiz dupla yh(x) = (C1 + C2x)e^4x , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos usar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular . A ideia é assumir que e são funções de , ou seja, e .

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas de yh'(x) = (C1' + C2'x + C2)e^4x + 4(C1 + C2x)e^4x :
yh''(x) = (derivada de yh'(x) )
Para simplificar, usamos as condições:
C1' + C2'x = 0

Passo 7

Com isso, as equações simplificam para:
yp'(x) = C1'e^4x + C2'x e^4x + 4yp(x)
Substituindo na equação original e igualando os termos, conseguimos um sistema para e .

Passo 8

Após resolver o sistema, encontramos:
C1'(x) = e^4xx^2 cdot (fatores envolvendo os Wronskians)
C2'(x) = similarmente
Integrando e , obtemos e .

Passo 9

Finalmente, substituímos y(x) = yh(x) + yp(x) e na expressão da solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2x)e^4x + (solução particular encontrada) çã

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