Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais ordinárias, especificamente usando o método da variação dos parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
. Para isso, achamos as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é
. Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, a raiz dupla é
.
Passo 4
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos usar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
. A ideia é assumir que
e
são funções de
, ou seja,
e
.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Para simplificar, usamos as condições:
Passo 7
Com isso, as equações simplificam para:
Substituindo na equação original e igualando os termos, conseguimos um sistema para
e
.
Passo 8
Após resolver o sistema, encontramos:
Integrando
e
, obtemos
e
.
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na expressão da solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: