As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.

Passo 1

O enunciado define as funções inversas hiperbolicas (argsenh, argcosh, argtgh e argcotgh) pelas relações \ $\sinh(y)=x$, \ $\cosh(y)=x$, \ $\tanh(y)=x$ e \ $\coth(y)=x$, respectivamente. Para encontrar cada inversa, a ideia é resolver essas equações para $y$ em termos de $x$, usando as definições de $e^y$ e logaritmos.

Passo 2

Para $y=\operatorname{argsenh}(x)$, partimos de $\sinh(y)=x$, ou seja:
y=argsenh(x)
Multiplicando por $2e^y$ e fazendo $u=e^y$ dá
sinh(y)=x
Resolvendo para $u$ (positiva) obtemos $u = x + \sqrt{x^2+1}$, logo
e^y - e^-y2 = x

Passo 3

Para $y=\operatorname{argcosh}(x)$, temos $\cosh(y)=x$, ou seja:
y=argcosh(x)
Repetindo o mesmo truque com $u=e^y$ leva a
cosh(y)=x
e a solução positiva é $u = x + \sqrt{x^2-1}$. Assim,
e^y + e^-y2 = x
válido para $x\ge1$.

Passo 4

Para $y=\operatorname{argtgh}(x)$, usamos $\tanh(y)=x$, ou seja:
y=ar>gh(x)
Defina $u=e^{2y}$. A equação vira
tanh(y)=x
Resolvendo para $u$ dá
e^y - e^-ye^y + e^-y = x
Logo
u=e^2y
com $|x|<1$.

Passo 5

Para $y=\operatorname{argcotgh}(x)$, temos $\coth(y)=x$, isto é:
y=argcotgh(x)
Com $u=e^{2y}$ chega-se a
coth(y)=x
e
e^y + e^-ye^y - e^-y = x
Portanto
u=e^2y
para $|x|>1$.

Resposta

(\operatorname{argsenh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr),\
\operatorname{argcosh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr),\
\operatorname{argtgh}(x)=\tfrac12\ln!\Bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\Bigr),\
\operatorname{argcotgh}(x)=\tfrac12\ln!\Bigl(\tfrac{x+1}{x-1}\Bigr).

Exercícios relacionados