As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a)
se, e somente se,
.
b)
somente se,
.
c)
somente se,
.
d)
se, e somente se,
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado define as funções inversas hiperbolicas (argsenh, argcosh, argtgh e argcotgh) pelas relações \ $\sinh(y)=x$, \ $\cosh(y)=x$, \ $\tanh(y)=x$ e \ $\coth(y)=x$, respectivamente. Para encontrar cada inversa, a ideia é resolver essas equações para $y$ em termos de $x$, usando as definições de $e^y$ e logaritmos.
Passo 2
Para $y=\operatorname{argsenh}(x)$, partimos de $\sinh(y)=x$, ou seja:
Multiplicando por $2e^y$ e fazendo $u=e^y$ dá
Resolvendo para $u$ (positiva) obtemos $u = x + \sqrt{x^2+1}$, logo
Passo 3
Para $y=\operatorname{argcosh}(x)$, temos $\cosh(y)=x$, ou seja:
Repetindo o mesmo truque com $u=e^y$ leva a
e a solução positiva é $u = x + \sqrt{x^2-1}$. Assim,
válido para $x\ge1$.
Passo 4
Para $y=\operatorname{argtgh}(x)$, usamos $\tanh(y)=x$, ou seja:
Defina $u=e^{2y}$. A equação vira
Resolvendo para $u$ dá
Logo
com $|x|<1$.
Passo 5
Para $y=\operatorname{argcotgh}(x)$, temos $\coth(y)=x$, isto é:
Com $u=e^{2y}$ chega-se a
e
Portanto
para $|x|>1$.
Resposta
(\operatorname{argsenh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr),\
\operatorname{argcosh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr),\
\operatorname{argtgh}(x)=\tfrac12\ln!\Bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\Bigr),\
\operatorname{argcotgh}(x)=\tfrac12\ln!\Bigl(\tfrac{x+1}{x-1}\Bigr).
\operatorname{argcosh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr),\
\operatorname{argtgh}(x)=\tfrac12\ln!\Bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\Bigr),\
\operatorname{argcotgh}(x)=\tfrac12\ln!\Bigl(\tfrac{x+1}{x-1}\Bigr).