(Inversibilidade via Escalonamento)
Seja
C=[lll 0 & 1 & 2 1 & 0 & 2 2 & 1 & 0 ]
a) Reduza a matriz à forma escalonada reduzida.
b) A matriz é invertível? Justifique com base no número de pivôs.
c) Caso C seja nvertível, mostre como calcular C^-1 usando operações elementares sobre suas linhas.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 2 2 & 1 & 0
e pede: (a) reduzir C à forma escalonada reduzida, (b) dizer se ela é invertível com base no número de pivôs, e (c) caso seja invertível, mostrar como obter C^-1 por operações elementares de linha. O conteúdo envolvido é eliminação de Gauss–Jordan e o teorema que diz que uma matriz ntimes n é invertível se, e somente se, ela tem n pivôs.

Passo 2

Para começar o escalonamento, trocamos Linha1 com Linha2 para ter pivô em (1,1), e depois eliminamos abaixo:
0 & 1 & 2 1 & 0 & 2 2 & 1 & 0 ;xrightarrow;L1rightarrow L2;; 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 2 & 1 & 0 ;xrightarrow;L3>=ts L3-2L1;; 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 0 & 1 & -4
Em seguida eliminamos abaixo do pivô da segunda coluna:
1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 0 & 1 & -4 ;xrightarrow;L3>=ts L3-L2;; 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & -6
e normalizamos a terceira linha para ter pivô 1:
L3>=ts -tfrac16L3 Longrightarrow 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Passo 3

Agora fazemos as eliminações acima dos pivôs para chegar na forma escalonada reduzida (Gauss–Jordan):
1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 ;xrightarrow;L1>=ts L1-2L3,;L2>=ts L2-2L3;; 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Na forma escalonada reduzida encontramos um pivô em cada uma das 3 linhas (e colunas). Como há exatamente 3 pivôs, que é o número de linhas de C, concluímos que C tem posto máximo e, portanto, é invertível.

Passo 5

Para calcular C^-1 montamos a matriz ampliada [,Cmid I3] e aplicamos as mesmas operações de linha que levaram C a I3, mantendo lado direito sincronizado. Ao final obtemos
[,I3mid C^-1]
com
C^-1 = -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13 tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13 tfrac16 & tfrac13 & -tfrac16

Resposta

(a) A forma escalonada reduzida de C é
I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
(b) Sim, C é invertível pois possui 3 pivôs (posto completo).
(c) Usando operações elementares sobre linhas na matriz ampliada [,Cmid I3], obtemos
C^-1 = -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13 tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13 tfrac16 & tfrac13 & -tfrac16

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