(Avançado - Posto por Escalonamento)
Escalone a matriz a seguir:
B=[ccccc 1 & -1 & 2 & -2 & 3 2 & -2 & 4 & -4 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 1 3 & -3 & 6 & -6 & 9 ]
a) Obtenha a forma escalonada.
b) Quantas linhas nulas aparecem?
c) Qual o número total de pivôs?
d) Verifique que p(A), o posto de B, é menor ou igual que o mínimo entre o número de colunas e de linhas de B.

Passo 1

O enunciado pede para escalar a matriz
B = 1 & -1 & 2 & -2 & 3 2 & -2 & 4 & -4 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 1 3 & -3 & 6 & -6 & 9
usando operações elementares de linha, para obter sua forma escalonada, contar quantas linhas nulas surgem, quantos pivôs existem e checar que o posto p(B) satisfaz p(B)<=min(ncirc de linhas,ncirc de colunas).

Passo 2

Identificamos o primeiro pivô em b11=1. Eliminamos as entradas abaixo dele:
L2 L2 - 2,L1, L4 L4 - 3,L1
Isso produz
1 & -1 & 2 & -2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Para trazer a linha com o segundo pivô para cima, trocamos
L2 rightarrow L3,
obtendo a forma escalonada final
1 & -1 & 2 & -2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Na forma escalonada acima, as linhas 3 e 4 são totalmente nulas, portanto há 2 linhas nulas. Os pivôs estão em (1,1) e (2,5), totalizando 2 pivôs.

Passo 5

O posto p(B) é o número de pivôs, ou seja,
p(B)=2
Como B tem 4 linhas e 5 colunas,
min(4,5)=4
e de fato
p(B)=2 <= 4,
confirmando a desigualdade.

Resposta

a)
1 & -1 & 2 & -2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
b) 2
c) 2
d) Como p(B)=2 e min(4,5)=4, temos 2<=4.

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