(Número de Pivôs)
Dada a matriz
A=[cccc 1 & 2 & 3 & 4 2 & 4 & 6 & 8 -1 & -2 & -3 & -4 5 & 1 & -1 & 2 ]
a) Reduza a matriz à forma escalonada por linhas.
b) Conte o número de pivôs.
c) Calcule a nulidade de A.
d) Encontre uma matriz B tal que B cdot A resulte numa matriz escalonada, linha equivalente com A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 2 & 3 & 4 2 & 4 & 6 & 8 -1 & -2 & -3 & -4 5 & 1 & -1 & 2
e pede (a) a forma escalonada por linhas, (b) o número de pivôs, (c) a nulidade de A e (d) uma matriz B tal que Bcdot A seja essa forma escalonada. Vamos usar eliminação de Gauss e conceitos de pivô, posto e nulidade.

Passo 2

Eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna usando operações de linha em A:
R2& R2-2R1, R3& R3+R1, R4& R4-5R1
Isso transforma A em
1 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & -9 & -16 & -18

Passo 3

Para colocar o próximo pivô na segunda linha, trocamos R2 com R4. Obtemos então a forma escalonada por linhas
1 & 2 & 3 & 4 0 & -9 & -16 & -18 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Os pivôs são os primeiros elementos não nulos de cada linha não nula, que aqui estão nas posições (1,1) e (2,2). Logo o número de pivôs (o posto de A) é
rank(A)=2

Passo 5

A nulidade de A é o número de colunas menos o posto:
nulidade(A)=4-2=2

Passo 6

Para achar B, aplicamos as mesmas operações de linha à matriz identidade I4. Primeiro, em I4:
R2 R2-2R1,; R3 R3+R1,; R4 R4-5R1,
depois trocamos R2 com R4. O resultado é
B= 1 & 0 & 0 & 0 -5 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 ,
e de fato
Bcdot A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -9 & -16 & -18 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Resposta

a)
1 & 2 & 3 & 4 0 & -9 & -16 & -18 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
b) 2.
c) 2.
d)
B= 1 & 0 & 0 & 0 -5 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 -2 & 1 & 0 & 0

Exercícios relacionados