Para um inversor trifásico de seis degraus, a entrada CC é de 220 V e a frequência fundamental da saída é de 60 Hz . A carga conectada em estrela com cada fase da carga tendo uma conexão RL em série com R=20Ohm e \mathrm{L}=22 \mathrm{mH}. Determine a distorção harmônica total da corrente na carga.

Passo 1

O enunciado trata de um inversor trifásico de seis degraus alimentado com tensão CC de 220\mathrm{\,V} e frequência fundamental de saída de 60\mathrm{\,Hz}. A carga é estrela, cada fase sendo um ramo série R + j \omega L com R = 20\,\Omega e L = 22\mathrm{\,mH}. Vamos usar séries de Fourier para o waveform de seis degraus (onda quadrada de \emph{line-to-line}), filtrar cada harmônico pela impedância da carga e, então, calcular a distorção harmônica total (THD) da corrente.

Passo 2

Para um inversor de seis degraus sem modulação PWM, o tensão entre duas fases é uma onda quadrada de amplitude \pm V_{dc}. A série de Fourier desta onda é, para harmônicos ímpares n=1,3,5,\dots,
v_{LL}(t)=\sum_{k=0}^\infty \frac{4V_{dc}}{(2k+1)\pi}\cos\bigl[(2k+1)\omega t\bigr].
Logo, a amplitude do componente fundamental ( n=1) em tensão linha–linha é
V_{LL1}=\frac{4V_{dc}}{\pi} =\frac{4\cdot220}{\pi}\approx280.0\rm \,V.
E a amplitude do n-ésimo harmônico é
V_{LL,n}=\frac{4V_{dc}}{n\pi}\quad(n=1,3,5,\dots).

Passo 3

Como a carga é estrela, a tensão de fase (linha–neutro) é
V_{1}=\frac{V_{LL1}}{\sqrt3} \quad\text{e}\quad V_{n}=\frac{V_{LL,n}}{\sqrt3}.
Para o fundamental em \,60\rm\,Hz, \omega=2\pi\cdot60\approx377\rm\,rad/s. A impedância de fase no fundamental é
Z_1=R+j\omega L =20 + j\,(377\cdot0,022) =20 + j\,8{,}28\:\Omega,
com módulo
\bigl|Z_1\bigr|=\sqrt{20^2+8{,}28^2}\approx21{,}6\:\Omega.
Assim, a corrente fundamental em módulo vale
I_1=\frac{V_{1}}{\bigl|Z_1\bigr|} =\frac{\frac{280}{\sqrt3}}{21{,}6} \approx7{,}48\:\mathrm A.

Passo 4

Cada harmônico n (apenas ímpares) gera tensão de fase
V_{n}=\frac{280}{n\,\sqrt3}\quad(\text{V}),
impedância
Z_n=R+j\,n\omega L =20 + j\,(n\cdot8{,}28),
módulo \bigl|Z_n\bigr|=\sqrt{20^2+(n\cdot8{,}28)^2}, e corrente de harmônico
I_n=\frac{V_n}{\bigl|Z_n\bigr|}.
Calculamos os primeiros harmônicos relevantes n=5,7,11,13,17,19,23:
n=5:
\;V_5=\tfrac{280}{5\sqrt3}=32{,}32\rm\,V, \;|Z_5|=\sqrt{20^2+41{,}4^2}\approx45{,}97\:\Omega, \;I_5=0{,}703\rm\,A. n=7:
\;V_7=23{,}09\rm\,V, \;|Z_7|\approx61{,}34\:\Omega, \;I_7=0{,}3765\rm\,A. n=11:
\;V_{11}=14{,}69\rm\,V, \;|Z_{11}|\approx93{,}3\:\Omega, \;I_{11}=0{,}1575\rm\,A. n=13:
\;I_{13}=0{,}1136\rm\,A; n=17:
\;I_{17}=0{,}0669\rm\,A; n=19:
\;I_{19}=0{,}0537\rm\,A; n=23:
\;I_{23}=0{,}0367\rm\,A.

Passo 5

A distorção harmônica total é
\mathrm{THD} =\frac{\sqrt{\displaystyle\sum_{n\neq1}I_n^2}}{I_1} =\frac{\sqrt{I_5^2+I_7^2+I_{11}^2+\cdots+I_{23}^2}}{7{,}48} \approx\frac{\sqrt{0{,}683}}{7{,}48} \approx0{,}1106.

Resposta

A distorção harmônica total da corrente na carga é aproximadamente 11{,}1\%.

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