Use o teste da integral para determinar se a séria dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
. O conteúdo é o teste da integral para séries positivas decrescentes. Vamos precisar definir uma função
, verificar condições de aplicabilidade e calcular a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Definimos a função
para
, pois em
há singularidade. A série só faz sentido a partir de
. Para aplicar o teste da integral, precisamos que
seja contínua, positiva e monotonicamente decrescente em
.
Passo 3
Verificamos positividade: em
, o denominador
, logo
. Para mostrar que
é decrescente em
, calculamos a derivada:
Assim,
é decrescente e contínua em
.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria
Para isso, usamos frações parciais:
Então
Passo 5
Integramos termo a termo:
Logo,
Passo 6
Agora avaliamos o limite:
Para o limite inferior em
:
Então a integral vale
ou seja, converge.
Passo 7
Pelo teste da integral, como
converge, a série
também converge. Como o único termo singular
não faz sentido, concluímos que a série, a partir de
, é convergente.