Use o teste da integral para determinar se a séria dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 4n^2-4

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série sumn=1^infty 4n^2-4. O conteúdo é o teste da integral para séries positivas decrescentes. Vamos precisar definir uma função f(x)=tfrac4x^2-4, verificar condições de aplicabilidade e calcular a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos a função f(x)=4x^2-4 para x>2, pois em x=2 há singularidade. A série só faz sentido a partir de n=3. Para aplicar o teste da integral, precisamos que f(x) seja contínua, positiva e monotonicamente decrescente em [3,infty).

Passo 3

Verificamos positividade: em x>2, o denominador x^2-4>0, logo f(x)>0. Para mostrar que f(x) é decrescente em [3,infty), calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl(4x^2-4r)= -8x(x^2-4)^2<0(forall x>2)
Assim, f(x) é decrescente e contínua em [3,infty).

Passo 4

Calculamos a integral imprópria
integral3^infty4x^2-4,dx
Para isso, usamos frações parciais:
4x^2-4=4(x-2)(x+2)=1x-2-1x+2
Então
integral3^infty4x^2-4,dx=integral3^inftyl(1x-2-1x+2r)dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral1x-2dx=ln|x-2|, integral1x+2dx=ln|x+2|
Logo,
integral3^infty4x^2-4,dx=l[ln(x-2)-ln(x+2)r]3^infty

Passo 6

Agora avaliamos o limite:
limbtoinftyl(ln(b-2)-ln(b+2)r)=limbtoinftylnl(b-2b+2r)=ln(1)=0
Para o limite inferior em x=3:
ln(3-2)-ln(3+2)=ln1-ln5=-ln5
Então a integral vale
0-(-ln5)=ln5
ou seja, converge.

Passo 7

Pelo teste da integral, como
integral3^infty4x^2-4,dx
converge, a série sumn=3^infty4n^2-4 também converge. Como o único termo singular n=2 não faz sentido, concluímos que a série, a partir de n=3, é convergente.

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