Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x^{2}} \int_{x}^{\sqrt{1-z}} f(x, y, z) d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{\,1-x^{2}}\int_{y=x}^{\sqrt{1-z}}f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx
em mais quatro ordens de integração distintas. O conteúdo necessário é a descrição da região
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le z\le1-x^{2},\;x\le y\le\sqrt{1-z}\}
e a projeção de E nos planos coordenados para determinar os limites em cada caso.

Passo 2

Vamos caracterizar E de forma alternativa. A condição
y\le\sqrt{1-z} \quad\Longleftrightarrow\quad z\le1-y^{2}
junta-se a z\le1-x^{2} e a y\ge x. Como em E temos y\ge x\Rightarrow y^{2}\ge x^{2}, segue
0\le x\le1,\quad x\le y\le1,\quad 0\le z\le1-y^{2}.
Também podemos inverter a projeção:
  • Sobre o plano yz: 0\le z\le1 e, para cada z, 0\le y\le\sqrt{1-z};
  • Sobre o plano xz: 0\le z\le1 e 0\le x\le\sqrt{1-z}.

Passo 3

Ordem de integração dz\,dy\,dx (primeiro em z, depois em y, por fim em x):
\int_{x=0}^{1} \int_{y=x}^{1} \int_{z=0}^{\,1-y^{2}} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Ordem de integração dz\,dx\,dy (primeiro em z, depois em x, por fim em y):
\int_{y=0}^{1} \int_{x=0}^{\,y} \int_{z=0}^{\,1-y^{2}} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.

Passo 5

Ordem de integração dy\,dx\,dz (primeiro em y, depois em x, por fim em z), usando a projeção no plano xz:
\int_{z=0}^{1} \int_{x=0}^{\sqrt{1-z}} \int_{y=x}^{\sqrt{1-z}} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.

Passo 6

Ordem de integração dx\,dy\,dz (primeiro em x, depois em y, por fim em z), usando a projeção no plano yz:
\int_{z=0}^{1} \int_{y=0}^{\sqrt{1-z}} \int_{x=0}^{\,y} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

Resposta

As quatro ordens de integração pedidas são:
\boxed{ \begin{aligned} &(1)\quad \int_{x=0}^{1} \int_{y=x}^{1} \int_{z=0}^{\,1-y^{2}} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx,\\\ &(2)\quad \int_{y=0}^{1} \int_{x=0}^{\,y} \int_{z=0}^{\,1-y^{2}} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy,\\\ &(3)\quad \int_{z=0}^{1} \int_{x=0}^{\sqrt{1-z}} \int_{y=x}^{\sqrt{1-z}} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz,\\\ &(4)\quad \int_{z=0}^{1} \int_{y=0}^{\sqrt{1-z}} \int_{x=0}^{\,y} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz. \end{aligned} }

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