Se o sistema linear a seguir é impossível:
\left\{\begin{array}{l} x+y+a z=1 \\\\ 2 x-y+3 z=0 \\\\ -x+2 y+3 z=2 \end{array}\right.
então:
a) a=0
b) a=-\frac{14}{3}
c) a=\frac{3}{4}
d) a=1
e) a=28

Passo 1

O enunciado pede o valor de a para o qual o sistema
\begin{cases} x + y + a z = 1,\\\\ 2x - y + 3z = 0,\\\\ -\,x + 2y + 3z = 2 \end{cases}
é impossível. O critério geral é: um sistema linear é impossível exatamente quando a matriz dos coeficientes fica singular (determinante zero) e, simultaneamente, o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Usando a expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 2&3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2&3\\\ -1&3\end{pmatrix} +a\cdot\det\begin{pmatrix}2&-1\\\ -1&2\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 2&3\end{pmatrix} =-1\cdot3-3\cdot2=-9, \quad \det\begin{pmatrix}2&3\\\ -1&3\end{pmatrix} =2\cdot3-3\cdot(-1)=9,
\det\begin{pmatrix}2&-1\\\ -1&2\end{pmatrix} =2\cdot2-(-1)\cdot(-1)=3.
Logo
\det(A)=-9 - 9 + 3a = 3(a-6).

Passo 3

O determinante anula-se quando
3(a-6)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=6.
Só neste caso a matriz dos coeficientes fica singular e o sistema deixa de ter solução única.
Para a=6 a matriz é singular. Verificamos então a consistência usando as equações: com a=6 chega-se a uma contradição (por exemplo, soma-se a primeira com a segunda para expressar x e y em função de z, e a terceira passa a exigir 1=2). Portanto, para a=6 o sistema é de fato impossível.

Passo 4

Como o único valor de a que torna o sistema impossível é a=6 — e esse valor não aparece entre as alternativas dadas — concluímos que nenhuma das opções listadas torna o sistema impossível.

Resposta

Nenhuma das alternativas (o valor que torna o sistema impossível é a=6, não listado).

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