Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=(\cos x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(\cos x)^{2}. O conteúdo é derivadas e, em particular, a regra da cadeia, pois temos uma função ao quadrado aplicada a \cos x.

Passo 2

Reconhecemos f como a composição
f(x)=g\bigl(h(x)\bigr),
onde g(u)=u^{2} e h(x)=\cos x. Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de g'(u) e de h'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas das funções auxiliares:
g'(u)=2u,\
h'(x)=-\sin x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\times h'(x) =2\bigl(\cos x\bigr)\times\bigl(-\sin x\bigr) =-2\sin x\cos x.

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica
\sin(2x)=2\sin x\cos x,
podemos reescrever
-2\sin x\cos x=-\sin(2x).

Resposta

f'(x)=-2\sin x\cos x=-\sin(2x).

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