Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(a) integral0^2 integralx^2 2 y^2 sin (x y) d y d x
(b) integral0^2 integral0^4-x^2 z c^2 y4-y d y d x
© integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y
(d) integral0^8 integralraiz[3]x^2 d y d xy^2+1 d y d x

Passo 1

Estamos lidando com quatro integrais duplas que exigem inversão da ordem de integração e cálculo. O conteúdo envolve identificação da região de integração, troca da ordem das integrais iteradas e aplicação de técnicas de integração.

Passo 2

(a) A região é dada por 0 ≤ x ≤ 2 e x ≤ y ≤ 2. Invertendo a ordem, temos 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ x ≤ y. A integral fica
integraly=0^2integralx=0^y2y^2sin(xy),dx,dy
Integramos primeiro em x:
integral0^ysin(xy),dx=[-cos(xy)y]0^y=1-cos(y^2)y
Multiplicando por 2y^2 dá 2y(1–cos(y^2)). Em seguida:
integral0^22y,dy-integral0^22ycos(y^2),dy=4-sin(4)

Passo 3

(b) A região é 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4−x². Invertendo: 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ √(4−y). A integral torna-se
zc^2integral0^4integral0^raiz4-yy4-y,dx,dy =zc^2integral0^4y4-yraiz4-y,dy
Com t=4−y obtemos
zc^2integral0^4l(4t^-1/2-t^1/2r),dt=zc^2l[16-tfrac163r]=323zc^2

Passo 4

© A região é 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1. Invertendo: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x. A integral vira
integral0^1integral0^xx^2e^xy,dy,dx
Em y:
integral0^xe^xy,dy=e^x^2-1x,
multiplicado por x^2 dá x(e{x2}-1). Então
integral0^1x(e^x^2-1),dx=e-12-12=e-22

Passo 5

(d) A região é 0 ≤ x ≤ 8, ∛x ≤ y ≤ 2. Invertendo: 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ y^3. A integral se torna
integral0^2integral0^y^31y^2+1,dx,dy =integral0^2y^3y^2+1,dy
Fazendo divisão algébrica y3/(y2+1)=y - y/(y^2+1) e integrando:
integral0^2y,dy-integral0^2yy^2+1,dy=2-12ln(5)

Resposta

(a) 4-sin(4); (b) dfrac32,z,c^23; © dfrace-22; (d) 2-tfrac12ln(5).

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