Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Estamos lidando com quatro integrais duplas que exigem inversão da ordem de integração e cálculo. O conteúdo envolve identificação da região de integração, troca da ordem das integrais iteradas e aplicação de técnicas de integração.
Passo 2
(a) A região é dada por 0 ≤ x ≤ 2 e x ≤ y ≤ 2. Invertendo a ordem, temos 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ x ≤ y. A integral fica
Integramos primeiro em x:
Multiplicando por 2y^2 dá 2y(1–cos(y^2)). Em seguida:
Passo 3
(b) A região é 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4−x². Invertendo: 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ √(4−y). A integral torna-se
Com t=4−y obtemos
Passo 4
© A região é 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1. Invertendo: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x. A integral vira
Em y:
multiplicado por x^2 dá x(e{x2}-1). Então
Passo 5
(d) A região é 0 ≤ x ≤ 8, ∛x ≤ y ≤ 2. Invertendo: 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ y^3. A integral se torna
Fazendo divisão algébrica y3/(y2+1)=y - y/(y^2+1) e integrando:
Resposta
(a)
; (b)
; ©
; (d)
.