O enunciado pede para verificar se as matrizes (ou vetores) $\Psi(t)$ dados resolvem o sistema linear $,\Psi’ = A,\Psi$ e, quando for matriz fundamental, checar se $\Psi(0)$ é invertível. Vamos usar teoria de sistemas lineares: uma solução fundamental satisfaz $\Psi’ = A\Psi$ e tem $\det\bigl(\Psi(0)\bigr) \neq 0$.
Passo 2
Para o item (a), calculemos $\Psi’(t)$ e comparemos com $A\Psi(t)$:
Em notação vetorial, Psi'(t)
Derivando cada componente:
$$
\Psi’(t) = APsi(t).
$$
Agora multiplique \A\ por \Psi(t)\ em cada componente:
$$
A\Psi(t) = 1-24 = e^te^-2t-2e^-2t.
$$
Como a terceira componente de $\Psi’(t)$ é $+4e^{-2t}$ e de $A\Psi(t)$ é $-8e^{-2t}$, não há igualdade, logo não é solução do sistema.
Passo 3
No item (b), seja 1 & 14 & -2
Derivando coluna a coluna:
$$
\Psi’(t) = e^-3t & e^2t-4e^-3t & e^2t.
$$
Multiplicando \A\ por $\Psi(t)$ coluna a coluna:
Primeira coluna: Psi'(t) = -3e^-3t & 2e^2t12e^-3t & 2e^2t
Segunda coluna: Psi(t)
Como $\Psi’(t)=A\Psi(t)$, satisfaz o sistema. Para checar se é fundamental, calculemos e^-3t-4e^-3t -3e^-3t12e^-3t
Portanto é de fato matriz fundamental.