(a) Psi^prime=(c1 -2 4) Psi, Psi(t)=(ce^t e^-2 t -2 e^-2 t)
(b) Psi^prime=(cc1 & 1 4 & -2) Psi, Psi(t)=(cce^-3 t & e^2 t -4 e^-3 t & e^2 t)
© Psi^prime=(ccc1 & -1 & 4 3 & 2 & -1 2 & 1 & -1) Psi, Psi(t)=(ccce^t & e^-2 t & e^3 t -4 e^t & -e^-2 t & 2 e^3 t -e^t & -e^-2 t & e^3 t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes (ou vetores) $\Psi(t)$ dados resolvem o sistema linear $,\Psi’ = A,\Psi$ e, quando for matriz fundamental, checar se $\Psi(0)$ é invertível. Vamos usar teoria de sistemas lineares: uma solução fundamental satisfaz $\Psi’ = A\Psi$ e tem $\det\bigl(\Psi(0)\bigr) \neq 0$.

Passo 2

Para o item (a), calculemos $\Psi’(t)$ e comparemos com $A\Psi(t)$:
Em notação vetorial, Psi'(t)
Derivando cada componente:
$$
\Psi’(t) = APsi(t).
$$
Agora multiplique \A\ por \Psi(t)\ em cada componente:
$$
A\Psi(t) = 1-24 = e^te^-2t-2e^-2t.
$$
Como a terceira componente de $\Psi’(t)$ é $+4e^{-2t}$ e de $A\Psi(t)$ é $-8e^{-2t}$, não há igualdade, logo não é solução do sistema.

Passo 3

No item (b), seja
1 & 14 & -2
Derivando coluna a coluna:
$$
\Psi’(t) = e^-3t & e^2t-4e^-3t & e^2t.
$$
Multiplicando \A\ por $\Psi(t)$ coluna a coluna:
Primeira coluna: Psi'(t) = -3e^-3t & 2e^2t12e^-3t & 2e^2t
Segunda coluna: Psi(t)
Como $\Psi’(t)=A\Psi(t)$, satisfaz o sistema. Para checar se é fundamental, calculemos
e^-3t-4e^-3t
-3e^-3t12e^-3t
Portanto é de fato matriz fundamental.

Passo 4

No item ©, temos
1 & -1 & 43 & 2 & -12 & 1 & -1
Cada coluna é um par (autovetor, autovalor) e satisfaz $\Psi’ = A\Psi$ por construção (derivada de $e^{\lambda t}$ traz $\lambda e^{\lambda t}$ e corresponde ao autovalor). Para verificação rápida do determinante inicial:
$$
\Psi(0)= e^t & e^-2t & e^3t-4e^t & -e^-2t & 2e^3t-e^t & -e^-2t & e^3t,
$$
$$
\det\bigl(\Psi(0)\bigr) = 6 \neq 0.
$$
Logo também é matriz fundamental.

Resposta

(a) não satisfaz o sistema (terceira componente dá conflito), então não é solução. (b) satisfaz $\Psi’=A\Psi$ e $\det\Psi(0)=5\neq0$, é matriz fundamental. © satisfaz $\Psi’=A\Psi$ e $\det\Psi(0)=6\neq0$, é matriz fundamental.

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