Use coordenadas polares para calcular as integrais abaizo.
(a) integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 d y d x
(b) integral0^3 integralx^raiz18-x^2(x^2+y^2+1) d y d x
© integral0^2 integral-raiz1-(y-1)^2^0 x y^2 d x d y
(d) integral0^2 integral0^raiz1-(x-1)^2 x+etax^2+y^2 d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 dy dx usando coordenadas polares. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral vai de x = -1 a x = 1 e de y = 0 até y = raiz1 - x^2. Isso descreve a parte superior de um círculo com raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Em coordenadas polares, x = r costheta e y = r sintheta. O elemento de área dx,dy se transforma em r,dr,dtheta.

Passo 4

A função dentro da integral, (x^2+y^2)^3 / 2, em coordenadas polares fica (r^2)^3/2 = r^3.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 dy dx = integral0^pi integral0^1 r^3 cdot r, dr, dtheta

Passo 6

Simplificando a integral:
integral0^pi integral0^1 r^4 dr dtheta

Passo 7

Integrando em relação a r:
integral0^1 r^4 dr = [r^55]0^1 = 15

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi 15 dtheta = 15 cdot pi = pi5

Resposta

O valor da integral é pi5.

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