Use coordenadas polares para calcular as integrais abaizo.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
usando coordenadas polares. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral vai de
a
e de
até
. Isso descreve a parte superior de um círculo com raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Em coordenadas polares,
e
. O elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
A função dentro da integral,
, em coordenadas polares fica
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original:
Passo 6
Simplificando a integral:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.