Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
(a) y^2=x & y=21+x^2
(b) y=e^x, y=sin (x), x=pi e x=-pi
© y=0, x+y=12 e y^2=16 x
(d) y=x^2 e y=x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a) juntos! O enunciado pede para calcular a área da região do plano limitada pelas curvas $ y^{2} = x $ e $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $. Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos identificar onde as duas curvas se intersectam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas $ y^{2} = x $ e $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $. Para isso, substituímos $ x $ da primeira equação na segunda:
y^2 = x
y = 21 + x^2
Agora, vamos resolver essa equação para $ y $. Multiplicando ambos os lados por $ 1 + y^{4} $:
x
y = 21 + (y^2)^2
y = 21 + y^4
Essa equação pode ser complicada de resolver analiticamente, mas observando que $ y = 1 $ é uma solução:
y
Então, $ y = 1 $ é uma das interseções. Substituindo $ y = 1 $ na primeira equação, temos:
1 + y^4
Portanto, um ponto de interseção é $ (1, 1) $. Como as curvas são simétricas em relação ao eixo $ y $, o outro ponto de interseção é $ (-1, 1) $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra no intervalo entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Vamos escolher um valor de $ x $ dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
Para $ y^{2} = x $ com $ x = 0 $, temos $ y = 0 $.
Para $ y = \frac{2}{1 + 0^{2}} = 2 $.
Então, $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $ está acima de $ y^{2} = x $ nesse intervalo.

Passo 4

Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores em relação a $ x $ de $ x = -1 $ a $ x = 1 $.
A área $ A $ é dada por:
x
No entanto, $ y^{2} = x $ implica $ y = \sqrt{x} $ para $ y \geq 0 $. Como estamos lidando com simetria, podemos multiplicar a integral de $ 0 $ a $ 1 $ por 2:
x = -1

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeiro, integramos $ \frac{2}{1 + x^{2}} $:
21 + x^2
Segundo, integramos $ \sqrt{x} $:
integral 21 + x^2 dx = 2 arctan(x)
Agora, aplicando os limites de integração de $ 0 $ a $ 1 $:
raizx
Sabemos que $ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} $ e $ \arctan(0) = 0 $, então:
integral raizx dx = 23 x^3/2
0
1
A = 2 [ 2 arctan(1) - 23 (1)^3/2 - (2 arctan(0) - 23 (0)^3/2) ]

Resposta

A área da região limitada pelas curvas $ y^{2} = x $ e $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $ é $ \pi - \frac{4}{3} $ unidades de área.

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