Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
(a)
&
(b)
©
e
(d)
e
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item (a) juntos! O enunciado pede para calcular a área da região do plano limitada pelas curvas $ y^{2} = x $ e $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $. Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos identificar onde as duas curvas se intersectam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas $ y^{2} = x $ e $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $. Para isso, substituímos $ x $ da primeira equação na segunda:
Agora, vamos resolver essa equação para $ y $. Multiplicando ambos os lados por $ 1 + y^{4} $:
Essa equação pode ser complicada de resolver analiticamente, mas observando que $ y = 1 $ é uma solução:
Então, $ y = 1 $ é uma das interseções. Substituindo $ y = 1 $ na primeira equação, temos:
Portanto, um ponto de interseção é $ (1, 1) $. Como as curvas são simétricas em relação ao eixo $ y $, o outro ponto de interseção é $ (-1, 1) $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra no intervalo entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Vamos escolher um valor de $ x $ dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
Para $ y^{2} = x $ com $ x = 0 $, temos $ y = 0 $.
Para $ y = \frac{2}{1 + 0^{2}} = 2 $.
Então, $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $ está acima de $ y^{2} = x $ nesse intervalo.
Passo 4
Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores em relação a $ x $ de $ x = -1 $ a $ x = 1 $.
A área $ A $ é dada por:
No entanto, $ y^{2} = x $ implica $ y = \sqrt{x} $ para $ y \geq 0 $. Como estamos lidando com simetria, podemos multiplicar a integral de $ 0 $ a $ 1 $ por 2:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeiro, integramos $ \frac{2}{1 + x^{2}} $:
Segundo, integramos $ \sqrt{x} $:
Agora, aplicando os limites de integração de $ 0 $ a $ 1 $:
Sabemos que $ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} $ e $ \arctan(0) = 0 $, então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas $ y^{2} = x $ e $ y = \frac{2}{1 + x^{2}} $ é $ \pi - \frac{4}{3} $ unidades de área.