Se Sigma cn 6^n for convergente, então Sigma cn(-6)^n é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se a convergência da série sumn=1^infty cn6^n implica a convergência de sumn=1^infty cn(-6)^n. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular séries de potências e contraexemplos para comportamento na fronteira de convergência.

Passo 2

Para mostrar que a afirmação é falsa, a estratégia é apresentar um contraexemplo. Ou seja, encontrar uma sequência (cn) tal que sum cn6^n convirja, mas sum cn(-6)^n diverja.

Passo 3

Escolhemos cn = (-1)^nn,6^n Então temos
Em bloco a primeira série fica
$$
\sum_{n=1}^\infty c_n6^n
= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} ,
$$
e sabemos pelo teste de Leibniz (série alternada com termos em magnitude sumn=1^infty cn6^n = sumn=1^infty (-1)^nn , decrescentes a zero) que essa série converge.

Passo 4

Agora a segunda série é
sumn=1^infty cn(-6)^n = sumn=1^infty (-1)^nn,6^n(-6)^n = sumn=1^infty 1n,
que é a série harmônica e diverge. Portanto, encontramos uma sequência que torna verdadeira a convergência em +6 mas não em -6.

Resposta

A afirmação é falsa.

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