Se
for convergente, então
é convergente.
Passo 1
O enunciado pergunta se a convergência da série
implica a convergência de
. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular séries de potências e contraexemplos para comportamento na fronteira de convergência.
Passo 2
Para mostrar que a afirmação é falsa, a estratégia é apresentar um contraexemplo. Ou seja, encontrar uma sequência
tal que
convirja, mas
diverja.
Passo 3
Escolhemos
Então temos
Em bloco a primeira série fica
$$
Em bloco a primeira série fica
$$
\sum_{n=1}^\infty c_n6^n
= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} ,
= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} ,
$$
e sabemos pelo teste de Leibniz (série alternada com termos em magnitude decrescentes a zero) que essa série converge.
e sabemos pelo teste de Leibniz (série alternada com termos em magnitude
Passo 4
Agora a segunda série é
que é a série harmônica e diverge. Portanto, encontramos uma sequência que torna verdadeira a convergência em
mas não em
.
Resposta
A afirmação é falsa.