Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^1 x(x^2+1)^4 d x. (Faça a mudança de variável u=x^2+1.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x(x²+1)⁴ dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a substituição u=x²+1. Vamos usar o fato de que du=2x dx para simplificar a integral.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável: seja u = x^2 + 1. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du. Os limites mudam: quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Logo a integral vira
integral0^1 x(x^2+1)^4 ,dx = integralu=1^u=2 (u^4)cdottfrac12,du = tfrac12integral1^2 u^4,du

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: integral u^4,du = tfracu^55. Então
tfrac12integral1^2 u^4,du = tfrac12gl[u^55gr]1^2 = 12cdot2^5 - 1^55 = 32 - 110 = 3110

Resposta

31/10

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