Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
’
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
e, em seguida, calcular a integral resultante. Para isso vamos precisar:
- Descrever geometricamente a região de integração e trocar os limites.
- Integrar em
primeiro (após a inversão). - Usar substituição para resolver a integral em
.
Passo 2
A região é dada por
A condição
equivale a
. Como
nunca ultrapassa
, temos
e, para cada
,
Logo, invertendo a ordem:
Passo 3
Com a ordem trocada, a integral vira
Integrando primeiro em
, em que
é constante, obtemos
Portanto a integral reduz-se a
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
Quando
,
. Quando
,
Assim
Passo 5
Portanto, o valor da integral original é