Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
\int_{0}^{1 / 16} \int_{y^{1 / 4}}^{1 / 2} \cos \left(16 \pi x^{5}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
\int_{0}^{1/16}\int_{y^{1/4}}^{1/2}\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx\,dy
e, em seguida, calcular a integral resultante. Para isso vamos precisar:
  1. Descrever geometricamente a região de integração e trocar os limites.
  2. Integrar em y primeiro (após a inversão).
  3. Usar substituição para resolver a integral em x.

Passo 2

A região é dada por
0\le y\le \tfrac1{16}, \quad y^{1/4}\le x\le \tfrac12.
A condição x\ge y^{1/4} equivale a y\le x^4. Como x nunca ultrapassa \tfrac12, temos 0\le x\le\tfrac12 e, para cada x,
0\le y\le x^4.
Logo, invertendo a ordem:
x\colon 0\to\tfrac12, \quad y\colon 0\to x^4.

Passo 3

Com a ordem trocada, a integral vira
\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{x^4}\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dy\,dx.
Integrando primeiro em y, em que \cos(16\pi x^5) é constante, obtemos
\int_{0}^{x^4}\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dy = x^4\,\cos\bigl(16\pi x^5\bigr).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1/2}x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{1/2}x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx
fazemos a substituição
u = 16\pi x^5 \;\Longrightarrow\; du = 80\pi\,x^4\,dx \;\Longrightarrow\; x^4\,dx = \frac{du}{80\pi}.
Quando x=0, u=0. Quando x=\tfrac12,
u = 16\pi\bigl(\tfrac12\bigr)^5 = \frac{\pi}{2}.
Assim
\int_{0}^{1/2}x^4\cos(16\pi x^5)\,dx = \frac{1}{80\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,du = \frac{1}{80\pi}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{80\pi}\cdot1.

Passo 5

Portanto, o valor da integral original é
\frac{1}{80\pi}.

Resposta

\displaystyle\frac{1}{80\pi}

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