Seja a função g(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.
a) (0.5) Determine \frac{\partial g}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) fora da origem, ou seja, (x, y) \neq(0,0).
b) (1.0) Determine \frac{\partial g}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial g}{\partial y}(0,0).
c) (1.0) A função g é diferenciável na origem?

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
a) as derivadas parciais fora da origem;
b) as derivadas parciais na origem via definição;
c) verificar se g é diferenciável em (0,0).
O conteúdo envolve regra do quociente para derivadas de funções de duas variáveis e definição de diferenciabilidade (continuidade e comportamento do resto).

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) usemos a regra do quociente em
g(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}, \quad u(x,y)=xy, \; v(x,y)=x^2+y^2.
Temos
\frac{\partial u}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=2x,
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\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{y\,(x^2+y^2)-xy\,(2x)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y x^2+y^3-2x^2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y\,(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}.
Analogamente,
\frac{\partial u}{\partial y}=x, \quad \frac{\partial v}{\partial y}=2y,
e
\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{x\,(x^2+y^2)-xy\,(2y)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^3+xy^2-2xy^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x\,(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Na origem definimos
\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{g(h,0)-g(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
pois g(h,0)=h\cdot0/(h^2+0)=0. Do mesmo modo
\frac{\partial g}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{g(0,k)-g(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0), g precisa ser contínua lá. Contudo, ao seguir a reta y=x temos
g(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{x^2}{2x^2}=\tfrac12 \quad(x\neq0),
logo \lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y) não é 0=g(0,0). Assim g não é contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável ali.

Resposta

a) Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) =\frac{y\,(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) =\frac{x\,(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.
b) Na origem:
\frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=0, \quad \frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=0.
c) g não é diferenciável em (0,0).

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