Pré-Cálculo: Prof Rafael
Lista de exercicios 2: Expressões e Equações Algébricas
Encontre as soluções reais da equação cúbica x^{3}+9 x^{2}+27 x+27=0.

Passo 1

O enunciado pede as soluções reais da equação cúbica
x^{3}+9x^{2}+27x+27=0.
O conteúdo envolvido é a resolução de equações polinomiais de terceiro grau, usando o teste de raízes racionais e fatoração por divisão de polinômio, seguido da resolução de uma equação quadrática.

Passo 2

Pela técnica do teste de raízes racionais, as possíveis raízes são os divisores de 27 (termo independente) sobre os divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja, \pm1,\pm3,\pm9,\pm27.
Vamos avaliar f(x)=x^{3}+9x^{2}+27x+27 em x=-3:
f(-3)=(-3)^{3}+9(-3)^{2}+27(-3)+27 = -27 + 9\cdot9 -81 +27 = -27+81-81+27 = 0.
Como f(-3)=0, concluímos que x=-3 é uma raiz real da equação.

Passo 3

Agora fazemos a divisão do polinômio por (x+3). Sabemos que
x^{3}+9x^{2}+27x+27 = (x+3)\bigl(x^{2}+6x+9\bigr).
Observamos que o quociente é o polinômio quadrático x^{2}+6x+9.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
x^{2}+6x+9=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 6^{2}-4\cdot1\cdot9 = 36-36 = 0.
Como \Delta=0, há uma raiz dupla dada por
x = \frac{-6}{2\cdot1} = -3.

Resposta

A única solução real é
x = -3,
com multiplicidade três.

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