Escreva iiint_{W} 1 d V (volume da região W ), onde W é a região dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1, utilizando coordenadas:
(0.4) Cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região W definida por
– dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 (raio 2)
– fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1 (raio 1)
e quer que usemos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
e o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas as fronteiras ficam:
– cilindro externo impõe r\ge1,
– esfera impõe r^{2}+z^{2}\le4, ou seja -\sqrt{4-r^{2}}\le z\le \sqrt{4-r^{2}},
– e todo o \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 3

Montamos o integral
\iiint_{W}1\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{2} \int_{z=-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Resposta

\iiint_{W}1\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{2}\!\!\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

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