Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração da integral dupla
. Isso está dentro do assunto de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Para resolver, vamos entender a região que estamos integrando e depois recalcular com a ordem invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de 0 até
. Isso forma um triângulo no plano XY onde
.
Passo 3
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Observando a região, para um dado
,
varia de
até 1.
Passo 4
Com os novos limites, a integral fica assim:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar ele de fora:
A integral de
em relação a
é
.
Passo 6
Substituindo os limites na integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a integral dupla virou uma integral simples:
Podemos separar isso em duas integrais:
Passo 8
Vamos calcular a primeira parte:
Usamos integração por partes, onde escolhemos
e
. Então:
Aplicando a fórmula da integração por partes (
):
Avaliando de 0 a 1:
Passo 9
Agora, a segunda parte:
Fazemos a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Passo 10
Juntando as duas partes:
Resposta
O valor da integral é
.