Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
integral0^1 integral0^y x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração da integral dupla integral0^1 integral0^y x^2 e^x y , dx , dy. Isso está dentro do assunto de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Para resolver, vamos entender a região que estamos integrando e depois recalcular com a ordem invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, y vai de 0 a 1, e para cada y, x vai de 0 até y. Isso forma um triângulo no plano XY onde 0 <= x <= y <= 1.

Passo 3

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Observando a região, para um dado x, y varia de x até 1.

Passo 4

Com os novos limites, a integral fica assim:
integral0^1 integralx^1 x^2 e^x y , dy , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral interna, que é em relação a y:
integralx^1 x^2 e^x y , dy
Como x^2 é constante em relação a y, podemos tirar ele de fora:
x^2 integralx^1 e^x y , dy
A integral de e^x y em relação a y é e^x yx.

Passo 6

Substituindo os limites na integral:
x^2 [ e^x yx ]y = x^y = 1 = x^2 ( e^xx - e^x^2x )
Simplificando:
x^2 cdot e^x - e^x^2x = x (e^x - e^x^2)

Passo 7

Agora, a integral dupla virou uma integral simples:
integral0^1 x (e^x - e^x^2) , dx
Podemos separar isso em duas integrais:
integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x e^x^2 , dx

Passo 8

Vamos calcular a primeira parte:
integral0^1 x e^x , dx
Usamos integração por partes, onde escolhemos u = x e dv = e^x dx. Então:
du = dx e v = e^x
Aplicando a fórmula da integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Avaliando de 0 a 1:
(1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = 0 + 1 = 1

Passo 9

Agora, a segunda parte:
integral0^1 x e^x^2 , dx
Fazemos a substituição u = x^2, então du = 2x dx ou x dx = du2. A integral fica:
12 integral0^1 e^u , du = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Passo 10

Juntando as duas partes:
1 - 12 (e - 1) = 1 - e2 + 12 = 32 - e2 = 3 - e2

Resposta

O valor da integral é 3 - e2.

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