Inverta a ordem de integração.
(d) \int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
\int_{-1}^{1}\Biggl[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\Biggr]dx.
O conteúdo aqui é descrever geometricamente a região
D = \{(x,y)\mid -1 \le x \le 1,\;x^{2}\le y \le \sqrt{2 - x^{2}}\}
e depois reescrever a integral trocando a ordem dx\,dy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras de D.
A parte inferior de D é o ramo de parábola
y = x^{2},
e a parte superior é o arco de círculo (meia‐circunferência)
y = \sqrt{2 - x^{2}},
com -1 \le x \le 1.

Passo 3

Determinar o intervalo de y.
Na região D, o menor y ocorre onde x^{2} é mínimo, ou seja em x=0, dando
y_{\min}=0.
O maior y ocorre onde \sqrt{2 - x^{2}} é máximo, também em x=0, dando
y_{\max}=\sqrt{2}.
Então y varia em [0,\sqrt{2}].

Passo 4

Para um y fixo em [0,\sqrt{2}], x deve satisfazer simultaneamente
x^{2}\le y \quad\text{e}\quad y \le \sqrt{2 - x^{2}}.
A primeira condição dá |x|\le \sqrt{y}.
A segunda, ao elevar ao quadrado, é
y^{2}\le 2 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 2 - y^{2} \quad\Longrightarrow\quad |x|\le \sqrt{2 - y^{2}}.

Passo 5

Combinamos as duas restrições:
|x|\le \min\bigl(\sqrt{y},\,\sqrt{2 - y^{2}}\bigr).
Para ver qual raiz é menor, igualamos
\sqrt{y} = \sqrt{2 - y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y = 2 - y^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+y-2=0 \quad\Longrightarrow\quad y=1\\ (\text{descartamos }y=-2).
Logo,
  • Se 0 \le y \le 1, então \sqrt{y}\le \sqrt{2 - y^{2}} e assim |x|\le \sqrt{y}.
  • Se 1 \le y \le \sqrt{2}, então \sqrt{2 - y^{2}}\le \sqrt{y} e assim |x|\le \sqrt{2 - y^{2}}.

Passo 6

Portanto, invertendo a ordem de integração, a integral original se escreve como soma de dois trechos em y:
\int_{-1}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{2 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2 - y^{2}}}^{\sqrt{2 - y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{-1}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{2 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2 - y^{2}}}^{\sqrt{2 - y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

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