Inverta a ordem de integração.
\iint_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right]dx
e pede para inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a mesma integral com dy como integral externa e dx como integral interna). As informações explícitas que temos são:
  • A variável x varia em [-1,1].
  • Para cada x fixo, a variável y varia em \left[-\sqrt{1-x^{2}},\;\sqrt{1-x^{2}}\right].
  • A função integrada é f(x,y) (sem hipótese extra dada sobre f).

Passo 2

Entender a região de integração. A desigualdade
-\sqrt{1-x^{2}}\le y\le \sqrt{1-x^{2}}
equivale, ao quadrarmos e reorganizar, a
y^{2}\le 1-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le 1.
Como x também satisfaz -1\le x\le 1, a região D integrada é
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\},
ou seja, o disco de raio 1 centrado na origem. Aqui mostrei passo a passo: partindo das desigualdades para y obtém-se a condição x^{2}+y^{2}\le 1.

Passo 3

Determinar os limites externos ao inverter: projetando o disco D no eixo y, os valores possíveis de y vão do mínimo -1 ao máximo 1. Logo, a nova integral externa terá y variando em [-1,1]. Isso vem do fato que qualquer ponto do disco satisfaz -1\le y\le 1, portanto a projeção do disco sobre o eixo y é exatamente esse intervalo.

Passo 4

Determinar os limites internos em x para um y fixo. Partindo da inequação do disco
x^{2}+y^{2}\le 1
e isolando x^{2} obtemos
x^{2}\le 1-y^{2}.
Como 1-y^{2}\ge 0 para y\in[-1,1], ao tirar raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades de sinal) temos
-\sqrt{1-y^{2}}\le x\le \sqrt{1-y^{2}}.
Expliquei aqui a manipulação algébrica: isolar x^{2}, garantir que o lado direito é não negativo dentro do intervalo de y, e então tomar raiz positiva e negativa para obter os limites de x.

Passo 5

Escrever a integral com a ordem invertida: colocando y como variável externa em [-1,1] e x como variável interna em \left[-\sqrt{1-y^{2}},\sqrt{1-y^{2}}\right], a integral equivalente é
\int_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right]dy.
Observação prática: não aparece nenhum fator extra (Jacobian) porque aqui só trocamos a ordem de integração em coordenadas cartesianas; continuamos integrando f(x,y)\,dx\,dy. Dica final rápida (útil na prova): sempre que a região definida por limites do tipo \pm\sqrt{\text{algo}} aparecer, tente reconhecer se isso descreve um círculo/semicírculo ou outra curva simples. Projetar a região nos eixos (achar as projeções em x e em y) é o jeito direto de inverter a ordem. Força aí — você já entendeu a ideia principal!

Resposta

\int_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right]dy

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