Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
e pede para inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a mesma integral com
como integral externa e
como integral interna). As informações explícitas que temos são:
- A variável
varia em . - Para cada
fixo, a variável varia em . - A função integrada é
(sem hipótese extra dada sobre ).
Passo 2
Entender a região de integração. A desigualdade
equivale, ao quadrarmos e reorganizar, a
Como
também satisfaz
, a região
integrada é
ou seja, o disco de raio
centrado na origem. Aqui mostrei passo a passo: partindo das desigualdades para
obtém-se a condição
.
Passo 3
Determinar os limites externos ao inverter: projetando o disco
no eixo
, os valores possíveis de
vão do mínimo
ao máximo
. Logo, a nova integral externa terá
variando em
. Isso vem do fato que qualquer ponto do disco satisfaz
, portanto a projeção do disco sobre o eixo
é exatamente esse intervalo.
Passo 4
Determinar os limites internos em
para um
fixo. Partindo da inequação do disco
e isolando
obtemos
Como
para
, ao tirar raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades de sinal) temos
Expliquei aqui a manipulação algébrica: isolar
, garantir que o lado direito é não negativo dentro do intervalo de
, e então tomar raiz positiva e negativa para obter os limites de
.
Passo 5
Escrever a integral com a ordem invertida: colocando
como variável externa em
e
como variável interna em
, a integral equivalente é
Observação prática: não aparece nenhum fator extra (Jacobian) porque aqui só trocamos a ordem de integração em coordenadas cartesianas; continuamos integrando
. Dica final rápida (útil na prova): sempre que a região definida por limites do tipo
aparecer, tente reconhecer se isso descreve um círculo/semicírculo ou outra curva simples. Projetar a região nos eixos (achar as projeções em
e em
) é o jeito direto de inverter a ordem. Força aí — você já entendeu a ideia principal!