Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
varia de a . - Para cada
fixo, varia de até . - A região de integração no plano
é portanto
Passo 2
Entender geometricamente a região
é essencial. É a região limitada:
- pela reta vertical
(onde ), - pela reta vertical
(onde ), - pela curva
entre e , - e pelo eixo
.
Em palavras: é a região abaixo da curva
para
entre
e
.
Passo 3
Determinar a projeção da região
sobre o eixo
(isto é, o intervalo possível para
). O menor valor de
em
é
. O maior valor é obtido em
:
Logo
varia em
.
Passo 4
Para inverter a ordem: fixe um
com
e determine os
que pertencem a
. A condição é
A segunda desigualdade, para
fixo, é
. Na faixa
a função
é contínua e estritamente crescente, portanto é invertível ali. Aplicando a função inversa
(que também é crescente) obtemos
Juntando com a restrição
, para cada
temos
Observe que
quando
, como esperado.
Passo 5
Agora escrevemos a integral com a ordem invertida: primeiro integrar em
com os limites que dependem de
, depois integrar em
de
a
. Assim a integral equivalente é