Inverta a ordem de integração.
int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\operatorname{tg} x} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\tan x} f(x,y)\,dy\right]dx
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes que temos:
  • x varia de 0 a \tfrac{\pi}{4}.
  • Para cada x fixo, y varia de 0 até \tan x.
  • A região de integração no plano (x,y) é portanto
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{\pi}{4},\\\ 0\le y\le\tan x\}.

Passo 2

Entender geometricamente a região D é essencial. É a região limitada:
  • pela reta vertical x=0 (onde \tan 0=0),
  • pela reta vertical x=\tfrac{\pi}{4} (onde \tan(\tfrac{\pi}{4})=1),
  • pela curva y=\tan x entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{4},
  • e pelo eixo y=0.
Em palavras: é a região abaixo da curva y=\tan x para x entre 0 e \tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Determinar a projeção da região D sobre o eixo y (isto é, o intervalo possível para y). O menor valor de y em D é 0. O maior valor é obtido em x=\tfrac{\pi}{4}:
\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1.
Logo y varia em [0,1].

Passo 4

Para inverter a ordem: fixe um y com 0\le y\le1 e determine os x que pertencem a D. A condição é
0\le x\le\tfrac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad 0\le y\le\tan x.
A segunda desigualdade, para y fixo, é y\le\tan x. Na faixa x\in[0,\tfrac{\pi}{4}] a função \tan x é contínua e estritamente crescente, portanto é invertível ali. Aplicando a função inversa \arctan (que também é crescente) obtemos
y\le\tan x \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\arctan y.
Juntando com a restrição x\le\tfrac{\pi}{4}, para cada y\in[0,1] temos
\arctan y \le x \le \tfrac{\pi}{4}.
Observe que \arctan y\in[0,\tfrac{\pi}{4}] quando y\in[0,1], como esperado.

Passo 5

Agora escrevemos a integral com a ordem invertida: primeiro integrar em x com os limites que dependem de y, depois integrar em y de 0 a 1. Assim a integral equivalente é
\int_{0}^{1}\left[\int_{\arctan y}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{\arctan y}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)\,dx\right]dy

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