Inverta a ordem de integração.
int_{0}^{3 a}\left[\int_{\frac{\sqrt{3}}{3} x}^{\sqrt{4 a x-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x(a>0).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedem para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{3a}\left[\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}x}^{\sqrt{4ax-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right] dx,\qquad (a>0).
  • Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
    • x varia de 0 até 3a.
    • Para cada x nessa faixa, y varia de y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x (reta) até y=\sqrt{4ax-x^{2}} (meia circunferência).
  • Objetivo: escrever a mesma integral com a ordem dy por fora e dx por dentro, ou seja, encontrar limites \displaystyle \int_{y=\_}^{y=\_}\int_{x=\_}^{x=\_} f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 2

Descrever geometricamente a região de integração R no plano (x,y).
  • A desigualdade interna \dfrac{\sqrt{3}}{3}x \le y \le \sqrt{4ax-x^{2}} significa que R é o conjunto de pontos entre a reta
y=\frac{\sqrt{3}}{3}x
e a curva dada por
y=\sqrt{4ax-x^{2}}.
  • A curva y=\sqrt{4ax-x^{2}} satisfaz, ao quadrarmos,
y^{2}=4ax-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=4ax.
  • Completar o quadrado em x:
x^{2}-4ax+y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad (x-2a)^{2}+y^{2}=4a^{2}.
Portanto essa curva é a semicircunferência superior (onde y\ge0) do círculo de centro (2a,0) e raio 2a.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre a reta e a semicircunferência (os extremos do domínio).
  • Substituindo y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x em x^{2}+y^{2}=4ax:
x^{2}+\frac{x^{2}}{3}=4ax \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{3}x^{2}-4ax=0.
  • Multiplicando por 3 e fatorando:
4x^{2}-12ax=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x(x-3a)=0.
  • Logo x=0 ou x=3a. Os correspondentes y são:
    • Para x=0: y=0.
    • Para x=3a: y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3a=\sqrt{3}\,a.
  • Assim a região R está contida entre os pontos (0,0) e (3a,\sqrt{3}\,a).

Passo 4

Determinar a variação de y quando trocamos a ordem: limites externos.
  • Observando os pontos extremos, y varia desde 0 até \sqrt{3}\,a.
  • Portanto o limite externo (para y) será
0\le y\le \sqrt{3}\,a.

Passo 5

Para um y fixo em [0,\sqrt{3}\,a], determinar os limites de x.
  • A condição inferior y\ge \dfrac{\sqrt{3}}{3}x pode ser rearranjada (porque x\ge0) como
x\le \sqrt{3}\,y.
  • A condição superior y\le \sqrt{4ax-x^{2}} é equivalente a
x^{2}-4ax+y^{2}\le 0,
ou seja x deve estar entre as raízes da equação quadrática
x^{2}-4ax+y^{2}=0.
  • Calcular as raízes (em x) usando a fórmula quadrática:
x = \frac{4a\pm\sqrt{(4a)^{2}-4\cdot 1\cdot y^{2}}}{2} =2a\pm\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.
Denotar as raízes por
x_{-}=2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}},\qquad x_{+}=2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.
  • A desigualdade x^{2}-4ax+y^{2}\le0 significa x_{-}\le x\le x_{+}.
  • Combinando as duas condições (a da reta e a da circunferência) obtemos, para cada y,
x_{-}\le x \le \sqrt{3}\,y,
porque a condição x\le\sqrt{3}\,y e x\le x_{+} resulta em x\le\sqrt{3}\,y (gera o limite superior) e o limite inferior é x_{-}. É fácil verificar que, para y\in[0,\sqrt{3}a], tem-se x_{-}\le\sqrt{3}\,y (igualdade nos extremos y=0 e y=\sqrt{3}a), portanto o intervalo viável de x é exatamente [x_{-},\sqrt{3}\,y].
  • Resumindo, para 0\le y\le\sqrt{3}\,a temos
2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\le x\le \sqrt{3}\,y.

Passo 6

Escrever a integral com a ordem trocada.
  • Substituindo os limites encontrados, a integral equivalente com ordem invertida é
\int_{y=0}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{x=\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,\sqrt{3}\,y} f(x,y)\,dx\right] dy.

Resposta

\int_{0}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,\sqrt{3}\,y} f(x,y)\,dx\right] dy

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