Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pedem para inverter a ordem de integração da integral
- Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
-
varia de até . - Para cada
nessa faixa, varia de (reta) até (meia circunferência).
-
- Objetivo: escrever a mesma integral com a ordem
por fora e por dentro, ou seja, encontrar limites .
Passo 2
Descrever geometricamente a região de integração
no plano
.
- A desigualdade interna
significa que é o conjunto de pontos entre a reta
e a curva dada por
- A curva
satisfaz, ao quadrarmos,
- Completar o quadrado em
:
Portanto essa curva é a semicircunferência superior (onde
) do círculo de centro
e raio
.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre a reta e a semicircunferência (os extremos do domínio).
- Substituindo
em :
- Multiplicando por
e fatorando:
- Logo
ou . Os correspondentes são: - Para
: . - Para
: .
- Para
- Assim a região
está contida entre os pontos e .
Passo 4
Determinar a variação de
quando trocamos a ordem: limites externos.
- Observando os pontos extremos,
varia desde até . - Portanto o limite externo (para
) será
Passo 5
Para um
fixo em
, determinar os limites de
.
- A condição inferior
pode ser rearranjada (porque ) como
- A condição superior
é equivalente a
ou seja
deve estar entre as raízes da equação quadrática
- Calcular as raízes (em
) usando a fórmula quadrática:
Denotar as raízes por
- A desigualdade
significa . - Combinando as duas condições (a da reta e a da circunferência) obtemos, para cada
,
porque a condição
e
resulta em
(gera o limite superior) e o limite inferior é
. É fácil verificar que, para
, tem-se
(igualdade nos extremos
e
), portanto o intervalo viável de
é exatamente
.
- Resumindo, para
temos
Passo 6
Escrever a integral com a ordem trocada.
- Substituindo os limites encontrados, a integral equivalente com ordem invertida é