Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada
O que se pede: inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a mesma integral na forma
.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- O segundo (exterior) integral é em
com . - Para cada
fixo, o primeiro (interior) integral é em com .
Passo 2
Interpretação geométrica da região de integração
no plano
: os pontos
satisfeitos pelas desigualdades dos limites formam
Vou transformar essas desigualdades em formas mais simples para poder trocar a ordem.
Passo 3
Manipular a desigualdade
. Como
para
, essa dupla desigualdade é equivalente à inequação
Portanto a descrição alternativa de
é
Passo 4
Projetar
no eixo
para achar os limites exteriores após inverter a ordem. Existe
tal que
exatamente quando
, isto é quando
. Logo a projeção em
é o intervalo
Passo 5
Para um
fixo com
, os valores de
em
devem satisfazer simultaneamente
e
. Como
, o menor
possível é
e o maior é
. Portanto, para cada
temos
Isto dá os limites interiores (em
) quando a integração for feita primeiro em
.
Passo 6
Comentário prático (checagem que ajuda na prova): se escolher
a integral original mede a área de
. Calcular pela ordem dada:
Pela ordem trocada ficaria
ou seja, as duas ordens coincidem, o que confirma que a troca que vamos apresentar faz sentido.