Inverta a ordem de integração.
int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
O que se pede: inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a mesma integral na forma \displaystyle \int_{a}^{b}\left[\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dy\right]dx.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • O segundo (exterior) integral é em y com 0\le y\le1.
  • Para cada y fixo, o primeiro (interior) integral é em x com -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}.

Passo 2

Interpretação geométrica da região de integração D no plano (x,y): os pontos (x,y) satisfeitos pelas desigualdades dos limites formam
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}\}.
Vou transformar essas desigualdades em formas mais simples para poder trocar a ordem.

Passo 3

Manipular a desigualdade -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}. Como \sqrt{y}\ge0 para y\in[0,1], essa dupla desigualdade é equivalente à inequação
x^{2}\le y.
Portanto a descrição alternativa de D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; x^{2}\le y\}.

Passo 4

Projetar D no eixo x para achar os limites exteriores após inverter a ordem. Existe y\in[0,1] tal que x^{2}\le y exatamente quando x^{2}\le 1, isto é quando |x|\le 1. Logo a projeção em x é o intervalo
-1\le x\le 1.

Passo 5

Para um x fixo com -1\le x\le 1, os valores de y em D devem satisfazer simultaneamente x^{2}\le y e 0\le y\le 1. Como x^{2}\ge 0, o menor y possível é y=x^{2} e o maior é y=1. Portanto, para cada x\in[-1,1] temos
x^{2}\le y\le 1.
Isto dá os limites interiores (em y) quando a integração for feita primeiro em y.

Passo 6

Comentário prático (checagem que ajuda na prova): se escolher f(x,y)=1 a integral original mede a área de D. Calcular pela ordem dada:
\int_{0}^{1}\left(\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 1\,dx\right)dy =\int_{0}^{1} 2\sqrt{y}\,dy =2\cdot\frac{2}{3}= \frac{4}{3}.
Pela ordem trocada ficaria
\int_{-1}^{1}\left(\int_{x^{2}}^{1} 1\,dy\right)dx =\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx =2\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx= \frac{4}{3},
ou seja, as duas ordens coincidem, o que confirma que a troca que vamos apresentar faz sentido.

Resposta

\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx

Exercícios relacionados