Inverta a ordem de integração.
int_{0}^{1}\left[\int_{e^{x-1}}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte integral iterada e pede para inverter a ordem de integração:
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{x-1}}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é x.
  • Os limites da integral interna são x=\mathrm{e}^{x-1} (inferior) e x=\mathrm{e}^{y} (superior).
  • A integral externa é em y com 0\le y\le 1.
    O que se pede: escrever a mesma integral com a ordem de integração trocada (primeiro em y, depois em x).

Passo 2

Regra essencial sobre integrais iteradas: se a integral interna é em x, os seus limites devem ser constantes ou funções do parâmetro exterior (neste caso funções de y). Em outras palavras, numa expressão do tipo
\int_{y=a}^{y=b}\left[\int_{x=\alpha(y)}^{x=\beta(y)} g(x,y)\,dx\right]dy
é correto que \alpha e \beta dependam de y, mas nunca de x. Limites que dependam da própria variável de integração interna tornam a expressão mal formulada.

Passo 3

No integral fornecido o limite inferior da integral interna é \mathrm{e}^{x-1}, que depende de x (a própria variável de integração interna). Portanto a escrita
\int_{e^{x-1}}^{e^{y}} f(x,y)\,dx
é inválida: o limite inferior não pode depender de x. Assim, com o enunciado exatamente como dado, a integral está mal definida e não é possível proceder à troca de ordem de integração.

Passo 4

Para não deixar a dúvida no ar, explico rapidamente como proceder se o enunciado tivesse sido o que comumente aparece em exercícios parecidos — isto é, se os limites dependessem apenas de y. Um correção plausível seria trocar o x por y no limite inferior, obtendo a integral bem-formulada
\int_{0}^{1}\left[\int_{\mathrm{e}^{y-1}}^{\mathrm{e}^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
Nesse caso a região do plano (x,y) é dada por
\mathrm{e}^{y-1}\le x\le \mathrm{e}^{y},\qquad 0\le y\le 1.
Para inverter a ordem: resolvem-se as desigualdades para y em função de x. Tomando logaritmo natural:
y-1\le \ln x \le y \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x \le y \le \ln x +1.
Também devemos manter 0\le y\le 1, então para cada x o intervalo de y é
y\in\big[\max(0,\ln x),\\ \min(1,\ln x+1)\big].
O valor de x que aparece na região varia entre os extremos quando y=0 e y=1: x_{\min}=\mathrm{e}^{-1}=\tfrac{1}{\mathrm{e}} e x_{\max}=\mathrm{e}. Como \ln x muda de sinal em x=1, convém dividir em dois blocos:
  • Para \tfrac{1}{\mathrm{e}}\le x\le 1: tem-se \max(0,\ln x)=0 e \min(1,\ln x+1)=\ln x+1. Logo y\in[0,\ln x+1].
  • Para 1\le x\le \mathrm{e}: tem-se \max(0,\ln x)=\ln x e \min(1,\ln x+1)=1. Logo y\in[\ln x,1].
Assim, para a integral corrigida acima, a ordem invertida seria
\int_{\tfrac{1}{\mathrm{e}}}^{1}\left[\int_{0}^{\ln x +1} f(x,y)\,dy\right]dx \;+\; \int_{1}^{\mathrm{e}}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx.
Isso mostra o procedimento completo para o caso bem-formulado.

Resposta

Não é possível inverter a ordem de integração com o enunciado original porque o limite inferior da integral interna, \mathrm{e}^{x-1}, depende da própria variável de integração interna x, o que torna a expressão mal definida.

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