Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte integral iterada e pede para inverter a ordem de integração:
Informações dadas:
- A variável de integração interna é
. - Os limites da integral interna são
(inferior) e (superior). - A integral externa é em
com .
O que se pede: escrever a mesma integral com a ordem de integração trocada (primeiro em, depois em ).
Passo 2
Regra essencial sobre integrais iteradas: se a integral interna é em
, os seus limites devem ser constantes ou funções do parâmetro exterior (neste caso funções de
). Em outras palavras, numa expressão do tipo
é correto que
e
dependam de
, mas nunca de
. Limites que dependam da própria variável de integração interna tornam a expressão mal formulada.
Passo 3
No integral fornecido o limite inferior da integral interna é
, que depende de
(a própria variável de integração interna). Portanto a escrita
é inválida: o limite inferior não pode depender de
. Assim, com o enunciado exatamente como dado, a integral está mal definida e não é possível proceder à troca de ordem de integração.
Passo 4
Para não deixar a dúvida no ar, explico rapidamente como proceder se o enunciado tivesse sido o que comumente aparece em exercícios parecidos — isto é, se os limites dependessem apenas de
. Um correção plausível seria trocar o
por
no limite inferior, obtendo a integral bem-formulada
Nesse caso a região do plano
é dada por
Para inverter a ordem: resolvem-se as desigualdades para
em função de
. Tomando logaritmo natural:
Também devemos manter
, então para cada
o intervalo de
é
O valor de
que aparece na região varia entre os extremos quando
e
:
e
. Como
muda de sinal em
, convém dividir em dois blocos:
- Para
: tem-se e . Logo . - Para
: tem-se e . Logo .
Assim, para a integral corrigida acima, a ordem invertida seria
Isso mostra o procedimento completo para o caso bem-formulado.
Resposta
Não é possível inverter a ordem de integração com o enunciado original porque o limite inferior da integral interna,
, depende da própria variável de integração interna
, o que torna a expressão mal definida.