Inverta a ordem de integração:
\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y)\, d y\right] d x.
O que pede: inverter a ordem de integração, isto é, escrever a mesma integral com a integração em y por fora e em x por dentro, encontrando os limites apropriados de y e x.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
  • x varia em [-1,1].
  • Para cada x fixo, y varia de y=x^{2} até y=\sqrt{2-x^{2}}.

Passo 2

Descrever a região de integração D no plano xy que corresponde à integral original:
D=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; x^{2}\le y\le \sqrt{2-x^{2}}\}.
Aqui as curvas que limitam D são:
  • a parábola y=x^{2} (ramo superior da parábola, valor de y não-negativo);
  • a semi-circunferência superior dada por y=\sqrt{2-x^{2}}, que provém da circunferência x^{2}+y^{2}=2 com y\ge0.
Calcular os pontos de intersecção dessas duas curvas: resolver x^{2}=\sqrt{2-x^{2}}. Seja t=x^{2}\ge0. Então
t=\sqrt{2-t}\quad\Rightarrow\quad t^{2}=2-t\quad\Rightarrow\quad t^{2}+t-2=0.
As raízes são t=1 e t=-2 (descartada). Assim x^{2}=1, logo x=\pm1. Nessas intersecções y=x^{2}=1. Portanto as curvas se encontram em (x,y)=(-1,1) e (1,1).

Passo 3

Determinar a faixa de valores de y em D.
O menor valor de y em D ocorre no ponto onde x^{2} é mínimo dentro de [-1,1], isto é x=0, dando y_{\min}=0.
O maior valor de y em D ocorre no ponto onde \sqrt{2-x^{2}} é máximo, também em x=0, dando y_{\max}=\sqrt{2}.
Portanto y varia em [0,\sqrt{2}].

Passo 4

Para um y fixo em [0,\sqrt{2}], determinar os x que pertencem a D. A condição é simultaneamente
x^{2}\le y \qquad\text{e}\qquad y\le \sqrt{2-x^{2}}.
Trabalhar cada desigualdade:
Da primeira desigualdade x^{2}\le y obtém-se
|x|\le \sqrt{y}\quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}.
Da segunda desigualdade, como em D tem-se y\ge0, pode-se elevar ao quadrado sem trocar desigualdade:
y\le \sqrt{2-x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad y^{2}\le 2-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 2-y^{2},
ou seja
|x|\le \sqrt{2-y^{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{2-y^{2}}\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.
Ambas condições devem valer simultaneamente, logo, para cada y,
|x|\le \min\bigl(\sqrt{y},\;\sqrt{2-y^{2}}\bigr).
Isto significa
-\min\bigl(\sqrt{y},\sqrt{2-y^{2}}\bigr)\le x\le \min\bigl(\sqrt{y},\sqrt{2-y^{2}}\bigr).

Passo 5

Determinar onde ocorre a troca entre as duas raízes da função mínima, isto é, resolver
\sqrt{y}=\sqrt{2-y^{2}}.
Elevando ao quadrado (com y\ge0):
y=2-y^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}+y-2=0,
cuja solução positiva é y=1 (a outra é y=-2, descartada). Portanto:
  • Para 0\le y\le 1 tem-se \sqrt{y}\le\sqrt{2-y^{2}}, então \min(\sqrt{y},\sqrt{2-y^{2}})=\sqrt{y}.
  • Para 1\le y\le \sqrt{2} tem-se \sqrt{2-y^{2}}\le\sqrt{y}, então \min(\sqrt{y},\sqrt{2-y^{2}})=\sqrt{2-y^{2}}.
Logo é necessário dividir a integração em duas faixas de y.

Passo 6

Escrever a integral com a ordem invertida, usando os limites obtidos em cada faixa de y:
Para 0\le y\le 1: x varia entre -\sqrt{y} e \sqrt{y}.
Para 1\le y\le \sqrt{2}: x varia entre -\sqrt{2-y^{2}} e \sqrt{2-y^{2}}.
Portanto a integral equivalente com ordem invertida é
\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\, dx\right] dy +\int_{1}^{\sqrt{2}}\left[\int_{-\sqrt{2-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x,y)\, dx\right] dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\, dx\right] dy +\int_{1}^{\sqrt{2}}\left[\int_{-\sqrt{2-y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}} f(x,y)\, dx\right] dy

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