Inverta a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
O que pede: inverter a ordem de integração, isto é, escrever a mesma integral com a integração em
por fora e em
por dentro, encontrando os limites apropriados de
e
.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
-
varia em . - Para cada
fixo, varia de até .
Passo 2
Descrever a região de integração
no plano
que corresponde à integral original:
Aqui as curvas que limitam
são:
- a parábola
(ramo superior da parábola, valor de não-negativo); - a semi-circunferência superior dada por
, que provém da circunferência com .
Calcular os pontos de intersecção dessas duas curvas: resolver
. Seja
. Então
As raízes são
e
(descartada). Assim
, logo
. Nessas intersecções
. Portanto as curvas se encontram em
e
.
Passo 3
Determinar a faixa de valores de
em
.
O menor valor de
em
ocorre no ponto onde
é mínimo dentro de
, isto é
, dando
.
O maior valor de
em
ocorre no ponto onde
é máximo, também em
, dando
.
Portanto
varia em
.
Passo 4
Para um
fixo em
, determinar os
que pertencem a
. A condição é simultaneamente
Trabalhar cada desigualdade:
Da primeira desigualdade
obtém-se
Da segunda desigualdade, como em
tem-se
, pode-se elevar ao quadrado sem trocar desigualdade:
ou seja
Ambas condições devem valer simultaneamente, logo, para cada
,
Isto significa
Passo 5
Determinar onde ocorre a troca entre as duas raízes da função mínima, isto é, resolver
Elevando ao quadrado (com
):
cuja solução positiva é
(a outra é
, descartada). Portanto:
- Para
tem-se , então . - Para
tem-se , então .
Logo é necessário dividir a integração em duas faixas de
.
Passo 6
Escrever a integral com a ordem invertida, usando os limites obtidos em cada faixa de
:
Para
:
varia entre
e
.
Para
:
varia entre
e
.
Portanto a integral equivalente com ordem invertida é