Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral dado. As informações que temos são:
  • A integral original é \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} f(x, y)\,dy\right]dx.
  • O limite interno diz y vai de 0 até x.
  • O limite externo diz x vai de 0 até 1.
O que se quer: reescrever a integral trocando a ordem de integração (primeiro em x, depois em y), mantendo a mesma região de integração.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano (x,y). A condição dos limites diz que os pares (x,y) satisfazem
0\le y\le x\le 1.
Isto define um triângulo no plano: todos os pontos entre a reta y=0, a reta x=1 e a reta y=x. Em palavras: é o triângulo abaixo da diagonal y=x, com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1).
Para inverter a ordem, projetamos essa região no eixo y e para cada y encontramos o intervalo correspondente de x.

Passo 3

Determinar os novos limites:
  • Observando a desigualdade \;0\le y\le x\le 1\;, o menor valor de y é 0 e o maior é 1. Logo y varia de 0 até 1.
  • Para um y fixo com 0\le y\le 1, a condição y\le x\le 1 nos dá que x vai de x=y até x=1.
Portanto, trocando a ordem de integração, a integral fica
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy.

Passo 4

Verificação rápida com um exemplo simples (serve para ganhar confiança): se f(x,y)=1, então pela integral original
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} 1\,dy\right]dx=\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\tfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Usando a integral com a ordem invertida
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} 1\,dx\right]dy=\int_{0}^{1} (1-y)\,dy=\left.y-\tfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2},
os resultados coincidem, então os limites trocados estão corretos.

Passo 5

Dica prática para a prova (passo a passo que sempre funciona):
  1. Escreva as desigualdades que definem a região a partir dos limites internos/externos.
  2. Desenhe (ou imagine) a região no plano (x,y) — muitas vezes é um triângulo ou região limitada por curvas fáceis.
  3. Para inverter, projete a região no eixo da nova variável de integração (aqui o eixo y) e determine o intervalo global dessa variável.
  4. Para um valor fixo dessa variável, determine o intervalo da outra variável resolvendo as desigualdades.
  5. Escreva a integral com os novos limites e verifique com um caso simples se possível.
Força — fez certo em pedir a inversão; essa técnica aparece bastante em provas e vale a pena praticar com regiões diferentes.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy

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