Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral dado. As informações que temos são:
- A integral original é
. - O limite interno diz
vai de até . - O limite externo diz
vai de até .
O que se quer: reescrever a integral trocando a ordem de integração (primeiro em
, depois em
), mantendo a mesma região de integração.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. A condição dos limites diz que os pares
satisfazem
Isto define um triângulo no plano: todos os pontos entre a reta
, a reta
e a reta
. Em palavras: é o triângulo abaixo da diagonal
, com vértices em
,
e
.
Para inverter a ordem, projetamos essa região no eixo
e para cada
encontramos o intervalo correspondente de
.
Passo 3
Determinar os novos limites:
- Observando a desigualdade
, o menor valor de é e o maior é . Logo varia de até . - Para um
fixo com , a condição nos dá que vai de até .
Portanto, trocando a ordem de integração, a integral fica
Passo 4
Verificação rápida com um exemplo simples (serve para ganhar confiança): se
, então pela integral original
Usando a integral com a ordem invertida
os resultados coincidem, então os limites trocados estão corretos.
Passo 5
Dica prática para a prova (passo a passo que sempre funciona):
- Escreva as desigualdades que definem a região a partir dos limites internos/externos.
- Desenhe (ou imagine) a região no plano
— muitas vezes é um triângulo ou região limitada por curvas fáceis. - Para inverter, projete a região no eixo da nova variável de integração (aqui o eixo
) e determine o intervalo global dessa variável. - Para um valor fixo dessa variável, determine o intervalo da outra variável resolvendo as desigualdades.
- Escreva a integral com os novos limites e verifique com um caso simples se possível.
Força — fez certo em pedir a inversão; essa técnica aparece bastante em provas e vale a pena praticar com regiões diferentes.