Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a mesma integral trocando a ordem
para
).
Informações explícitas do enunciado:
Informações explícitas do enunciado:
- A variável externa tem
variando em . - Para cada
nesse intervalo, varia de até .
Passo 2
Vamos descrever a região
do plano
sobre a qual a função é integrada. Pela definição da integral dada:
Isto significa: para cada
entre
e
,
fica entre duas curvas no plano,
(fronteira esquerda) e
(fronteira direita).
Passo 3
Primeiro encontro os extremos possíveis de
no domínio
. Avalio as duas curvas nos extremos de
:
- Para
: e , então . - Para
: e , então .
Como as curvase são crescentes em , o conjunto total de valores de cobertos por é
Passo 4
Agora, para inverter a ordem, fixo um
qualquer em
e determino para quais
ele pertence à região
. A condição
é
Vou transformar essas desigualdades em desigualdades para
.
Da desigualdade
obtemos, quando
,
Da desigualdade
obtemos
Portanto, em princípio, para
temos
Mas devemos lembrar que
também está limitado a
. Assim os limites reais para
são a interseção
Para
a desigualdade
não é útil (
é indefinido), e vemos diretamente que
ocorre apenas quando
(pois
só em
), então o caso
fica coberto pelo procedimento abaixo sem problema ao tomar limites.
Passo 5
Agora analiso como essa interseção se comporta em diferentes faixas de
. As duas curvas críticas que definem mudanças são
(onde
passa a ser não negativo) e
(onde
). Assim separo em três intervalos de
:
- Para
:
- Temos
, então a condição inferior é automaticamente satisfeita por todo . - A condição superior é
, e para vale .
Logo, para,
- Para
:
- Agora
e também (pois ).
Logo, para,
- Para
:
- Aqui
, então a condição superior é menos restritiva que . - A condição inferior permanece
(com nesse intervalo).
Logo, para,
Essas três faixas de
cobrem todo
sem sobreposição ambígua e dão limites claros para
.
Passo 6
Agora escrevo a integral com a ordem invertida, somando as integrais em cada faixa de
encontrada. Assim:
Cada termo corresponde exatamente às faixas (1), (2) e (3) do passo anterior. Essa expressão é equivalente à integral original, apenas com a ordem de integração trocada.