Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x, y)\, d x\right] d y
e pede para inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a mesma integral trocando a ordem dx\,dy para dy\,dx).
Informações explícitas do enunciado:
  • A variável externa tem y variando em [0,1].
  • Para cada y nesse intervalo, x varia de e^{y}-1 até e^{y}.

Passo 2

Vamos descrever a região R do plano (x,y) sobre a qual a função é integrada. Pela definição da integral dada:
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\; e^{y}-1 \le x \le e^{y}\}.
Isto significa: para cada y entre 0 e 1, x fica entre duas curvas no plano, x=e^{y}-1 (fronteira esquerda) e x=e^{y} (fronteira direita).

Passo 3

Primeiro encontro os extremos possíveis de x no domínio R. Avalio as duas curvas nos extremos de y:
  • Para y=0: e^{0}-1=0 e e^{0}=1, então x\in[0,1].
  • Para y=1: e^{1}-1=e-1 e e^{1}=e, então x\in[e-1,e].
    Como as curvas e^{y}-1 e e^{y} são crescentes em y, o conjunto total de valores de x cobertos por R é
x\in[0,e].

Passo 4

Agora, para inverter a ordem, fixo um x qualquer em [0,e] e determino para quais y ele pertence à região R. A condição (x,y)\in R é
e^{y}-1 \le x \le e^{y}.
Vou transformar essas desigualdades em desigualdades para y.
Da desigualdade x \le e^{y} obtemos, quando x>0,
y \ge \ln x.
Da desigualdade e^{y}-1 \le x obtemos
e^{y} \le x+1 \quad\Longrightarrow\quad y \le \ln(x+1).
Portanto, em princípio, para x>0 temos
\ln x \le y \le \ln(x+1).
Mas devemos lembrar que y também está limitado a [0,1]. Assim os limites reais para y são a interseção
y\in [\ln x,\;\ln(x+1)] \cap [0,1].
Para x=0 a desigualdade y\ge\ln x não é útil ( \ln 0 é indefinido), e vemos diretamente que x=0 ocorre apenas quando y=0 (pois e^{y}-1=0 só em y=0), então o caso x=0 fica coberto pelo procedimento abaixo sem problema ao tomar limites.

Passo 5

Agora analiso como essa interseção se comporta em diferentes faixas de x. As duas curvas críticas que definem mudanças são x=1 (onde \ln x passa a ser não negativo) e x=e-1 (onde \ln(x+1)=1). Assim separo em três intervalos de x:
  1. Para 0\le x \le 1:
  • Temos \ln x \le 0, então a condição inferior y\ge\ln x é automaticamente satisfeita por todo y\ge0.
  • A condição superior é y\le \ln(x+1), e para x\le1 vale \ln(x+1)\le\ln 2 <1.
    Logo, para x\in[0,1],
y\in[0,\;\ln(x+1)].
  1. Para 1\le x \le e-1:
  • Agora \ln x \ge 0 e também \ln(x+1)\le 1 (pois x+1\le e).
    Logo, para x\in[1,e-1],
y\in[\ln x,\;\ln(x+1)].
  1. Para e-1 \le x \le e:
  • Aqui \ln(x+1)\ge 1, então a condição superior y\le\ln(x+1) é menos restritiva que y\le1.
  • A condição inferior permanece y\ge\ln x (com \ln x\ge0 nesse intervalo).
    Logo, para x\in[e-1,e],
y\in[\ln x,\;1].
Essas três faixas de x cobrem todo [0,e] sem sobreposição ambígua e dão limites claros para y.

Passo 6

Agora escrevo a integral com a ordem invertida, somando as integrais em cada faixa de x encontrada. Assim:
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x, y)\, d x\right] d y = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\ln(x+1)} f(x,y)\, d y\right] d x + \int_{1}^{e-1}\left[\int_{\ln x}^{\ln(x+1)} f(x,y)\, d y\right] d x + \int_{e-1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\, d y\right] d x.
Cada termo corresponde exatamente às faixas (1), (2) e (3) do passo anterior. Essa expressão é equivalente à integral original, apenas com a ordem de integração trocada.

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}-1}^{e^{y}} f(x, y)\, d x\right] d y = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\ln(x+1)} f(x,y)\, d y\right] d x + \int_{1}^{e-1}\left[\int_{\ln x}^{\ln(x+1)} f(x,y)\, d y\right] d x + \int_{e-1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\, d y\right] d x

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